Ⅱ. 물질과 전자기장

08. 원자와 전기력, 스펙트럼

정답과 해설

[정답] ①

ㄱ. 양(+)전하 A에 작용하는 전기력이 0이므로, B와 C는 서로 다른 종류의 전하이다. B가 양(+)전하, C가 음(-)전하라면, A와 B 사이에는 척력이 작용하고, B와 C 사이에는 인력이 작용하므로, B는 A와 C로부터 +[eqn: x]방향의 전기력을 받게 된다. 그러나 B에 작용하는 전기력의 방향은 -[eqn: x]방향이라고 하였으므로, B가 음(-)전하, C가 양(+)전하이다. 이때 A와 B 사이에 인력이 작용하고, B와 C 사이에도 인력이 작용하는데, A와 B 사이에 작용하는 전기력의 크기가 더 크다면 B가 받는 전기력의 방향은 -[eqn: x]방향이 된다. 따라서 B는 음(-)전하이다.

해설

ㄴ. B는 음(-)전하, C는 양(+)전하이고 B에 작용하는 전기력의 방향이 -[eqn: x]방향이므로, A와 B 사이에 작용하는 전기력의 크기는 B와 C 사이에 작용하는 전기력의 크기보다 크다. A와 B 사이의 거리는 B와 C 사이의 거리와 같으므로, 전하량의 크기는 C가 A보다 작다.

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ㄷ. A와 B 사이에 작용하는 전기력의 크기를 [eqn: F _{RMAB}], A와 C 사이에 작용하는 전기력의 크기를 [eqn: F _{RMAC}], B와 C 사이에 작용하는 전기력의 크기를 [eqn: F _{rm BC}]라고 하면, [eqn: F _{RMAB}]=[eqn: F _{RMAC}]이고 [eqn: F _{RMAB}]>[eqn: F _{rm BC}]이므로 [eqn: F _{RMAC}]>[eqn: F _{rm BC}]이다. 즉, A와 C 사이에 작용하는 척력의 크기가 B와 C 사이에 작용하는 인력의 크기보다 크다. 따라서 C에 작용하는 전기력의 방향은 +[eqn: x]방향이다.

[정답] ③

(나)에서와 같이 A를 C의 오른편으로 옮겼을 때 C에 +[eqn: x]방향으로 작용하는 전기력의 크기가 [eqn: F]에서 [eqn: 2F]로 증가하는 것으로 보아, A와 C는 인력이 작용하는 서로 다른 종류의 전하라는 것을 알 수 있으므로 A는 음(-)전하이다. (가)에서 A가 음(-)전하, B가 음(-)전하라고 가정하면 C에 -[eqn: x]방향으로 전기력이 작용해야 하므로, 이 경우는 성립하지 않는다. 따라서 A는 음(-), B는 양(+)전하이다.

해설

(가)의 A에는 크기가 [eqn: 2F]인 전기력이 작용한다고 했으므로, (가)에서 A와 B 사이에 작용하는 전기력의 크기를 [eqn: f _{RMAB}], A와 C 사이에 작용하는 전기력의 크기를 [eqn: f _{rm AC}]라고 하면, A에 작용하는

전기력은 +[eqn: x]방향으로 [eqn: f _{RMAB}]+[eqn: f _{rm AC}]=[eqn: 2F]…①이다.

(가)에서 C에 +[eqn: x]방향으로 크기가 F인 전기력이 작용하므로, B와 C 사이의 전기력의 크기를 [eqn: f _{rm BC}]라고 하면 C에 작용하는 전기력의 크기는 [eqn: f _{rm BC}]-[eqn: f _{rm AC}]=[eqn: F]…②이다.

쿨롱 법칙에 따라 두 점전하 사이의 거리가 [eqn: {1} over {2}]배가 되면 전기력의 크기는 4배가 되므로, (나)에서 A와 C 사이에 작용하는 전기력의 크기는 4[eqn: f _{rm AC}]이다. (나)에서는 C에 +[eqn: x]방향으로 크기가 [eqn: 2F]인 전기력이 작용한다고 했으므로, C에 작용하는 전기력의 크기는 [eqn: f _{rm BC}]+4[eqn: f _{rm AC}]=[eqn: 2F]…③이다.

식 ①, ②, ③을 연립하여 정리하면 [eqn: f _{RMAB}]=[eqn: {9} over {5} F], [eqn: f _{rm AC}]=[eqn: {1} over {5} F]이다.

(다)에서 A와 C 사이에 작용하는 전기력의 크기는 4[eqn: f _{rm AC}]이고, A와 B 사이에 작용하는 전기력의 크기는 [eqn: f _{RMAB}]이므로, A에 작용하는 전기력의 크기는 [eqn: f _{RMAB}]-4[eqn: f _{rm AC}]=[eqn: F]이고, 전기력의 방향은 +[eqn: x]방향이다.

[정답] ①

(가)에서 A에 작용하는 전기력이 0이므로 B와 C는 서로 다른 종류의 전하이고, (나)에서 B에 작용하는 전기력이 0이므로 C와 A는 같은 종류의 전하이다. A가 양(+)전하이므로 B는 음(-)전하, C는 양(+)전하이다.

해설

ㄱ. (나)에서 B에 작용하는 전기력이 0이므로, C와 A는 같은 종류의 전하이다. 따라서 C는 양(+)전하이다.

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ㄴ. (가)에서 A에 작용하는 전기력이 0이므로, B가 A에 작용하는 전기력과 C가 A에 작용하는 전기력은 크기가 같고 방향이 반대이다. 이를 쿨롱 법칙에 따라 식으로 나타내면 각 전하 사이의 거리를 [eqn: d]라고 할 때, [eqn: k {Q _{rm A} ITQ _{rm B}} over {d ^{2}} = it k {Q _{rm A} ITQ _{RMC}} over {(2d) ^{2}}]에서 4[eqn: Q _{rm B}]=[eqn: Q _{rm C}]이다. 또 (나)에서 B에 작용하는 전기력이 0이므로, A가 B에 작용하는 전기력과 C가 B에 작용하는 전기력은 크기가 같고 방향이 반대이다. 이때 B와 C 사이의 거리를 [eqn: d]′이라고 하면, [eqn: k {Q _{rm A} it Q _{rm B}} over {d ^{2}} = it k {Q _{rm B} it Q _{rm C}} over {(d prime ) ^{2}}]에서 [eqn: d>d prime]이므로 [eqn: Q _{rm A}]>[eqn: Q _{rm C}]이다. 즉, [eqn: Q _{rm A}]>[eqn: Q _{rm C}]=4[eqn: Q _{rm B}]이므로 전하량의 크기는 B가 A보다 작다.

ㄷ. (가)에서 A가 C에 작용하는 전기력의 크기는 [eqn: it k {Q _{rm A} it Q _{rm C}} over {(2d) ^{2}}]이고 방향은 +[eqn: x]방향이다. B가 C에 작용하는 전기력의 크기는[eqn: k {Q _{rm B} it Q _{rm C}} over {d ^{2}}]이고 방향은 -[eqn: x]방향이다. [eqn: Q _{rm A}]>4[eqn: Q _{rm B}]이므로, (가)에서 C

에 작용하는 전기력의 방향은 +[eqn: x]방향이다.

[정답] ①

ㄱ. 전하를 띠고 있는 원자핵과 전자 사이에는 쿨롱 법칙을 따르는 힘인 전기력이 작용한다.

해설

ㄴ. 전자의 에너지는 양자수 [eqn: n]이 클수록 크므로 전자가 [eqn: n=1]인 궤도에 있을 때 전자의 에너지가 가장 작다.

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ㄷ. 전자의 에너지는 [eqn: n=3]인 궤도에서가 [eqn: n=2]인 궤도에서보다 크므로 [eqn: n=3]에서 [eqn: n=2]인 궤도로 전이할 때, 원자는 빛을 방출한다.

[정답] ⑤

ㄱ. 전기력 [eqn: F=k {q _{1} q _{2}} over {r ^{2}}]이므로 원자핵과 전자 사이의 거리 [eqn: r]이 작을수록 전기력의 크기는 크다. 따라서 [eqn: n=1]인 궤도에서 전기력, 즉 쿨롱 힘이 가장 크다.

해설

ㄷ. b : 전자가 [eqn: n=3]에서 [eqn: n=2]인 궤도로 전이하므로, 이때 방출하는 전자기파의 에너지[eqn: =-1.5``rmeV-(-3.4``rmeV)=1.9``rmeV]이다.

c : 전자가 [eqn: n=2]에서 [eqn: n=1]인 궤도로 전이하므로, 이때 방출하는 전자기파의 에너지[eqn: =-3.4`` rm eV-(-13.6`` rm eV)=10.2`` rm eV]이다.

즉, 방출되는 광자의 에너지는 b가 c보다 작기 때문에 전자기파의 에너지에 비례하는 전자기파의 진동수 또한 b가 c보다 작다.

ㄴ. a는 전자가 궤도 [eqn: n=2]에서 [eqn: n=3]으로 전이하므로 [eqn: E _{3} -E _{2} =1.9] [eqn: rm eV]만큼의 빛에너지를 흡수해야 한다.

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[정답] ④

ㄱ. 빛의 방출이나 흡수는 전자가 전이(궤도 이동)될 때 일어난다. 따라서 머물러 있는 동안에는 빛이 방출되거나 흡수되지 않는다.

해설

ㄷ. 선스펙트럼의 간격이 좁아지는 것은 에너지 차이가 크지 않음을 의미하므로 (나)에서 오른쪽으로 갈수록 [eqn: n=3], 4, 5, ...에서 [eqn: n=2]로 전이되는 것이다. 즉, 오른쪽으로 갈수록 광자의 에너지가 크므로 [eqn: E=hf= {hc} over {lambda }]에서 파장이 짧고, 진동수가 크다.

ㄴ. 광자의 에너지는 에너지 차이가 클 때 크다. 따라서 b에서가 a에서보다 광자의 에너지가 크다.

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[정답] ①

ㄱ. 광자 한 개의 에너지는 [eqn: E=hf]이다. 빛의 진동수는 파장에 반비례하므로 광자 한 개의 에너지는 파장이 짧은 a가 b보다 크다.

해설

ㄴ. 전이하는 에너지 준위의 차이가 클수록 방출되는 빛의 에너지가 크므로 진동수가 크다. 따라서 a는 ㉢에 의해 나타나는 스펙트럼선이다.

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ㄷ. b는 ㉡에 의해 나타나는 스펙트럼선이고, c는 ㉠에 의해 나타나는 스펙트럼선이다. 따라서 b와 c의 진동수 차는 [eqn: n=4]에서 [eqn: n=3]인 상태로 전이할 때 방출되는 빛의 진동수와 같다.

[정답] ③

ㄱ. 전자가 가질 수 있는 에너지는 양자화되어 있기 때문에 불연속적이다.

해설

ㄷ. 방출되는 광자의 에너지가 작을수록 빛의 파장은 길다. 방출하는 전자의 에너지가 가장 작은 전이가 c이므로 c의 파장이 가장 길다.

ㄴ. b는 전자가 [eqn: n=5]에서 [eqn: n=3]으로 전이하므로 이때 두 에너지 준위의 차이에 해당하는 [eqn: DELTA E=｜ rm 1.51eV-0.54eV｜=0.97eV]의 에너지를 갖는 광자를 방출한다.

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[정답] ⑤

ㄱ. 보어의 수소 원자 모형에서 진동수 [eqn: f _{b}]인 빛을 방출하여 n=4에서 n=3인 상태로 전이하였으므로 진동수 [eqn: f _{b}]인 빛을 흡수하면 n=3에서 n=4인 상태로 전이한다.

해설

ㄴ. 방출되는 에너지는 [eqn: E=hf]이므로 방출될 때 에너지 준위 차를 해당 진동수로 나누면 플랑크 상수 [eqn: h]를 얻게 된다. 따라서 [eqn: {E_4 -E_2 } over f_a = { E_4 - E_3} over f_b =h]이다.

ㄷ. n=4인 상태서 n=2인 상태로 전자가 전이할 때 에너지는 [eqn: E _{4} -E _{2} =(E _{4} -E _{3} )+(E _{3} -E _{2} )]=h[eqn: f _{a}]=h([eqn: f _{b} ``+f _{x}])인 빛을 방출한다. 따라서 n=3인 상태에서 전자가 n=2인 상태로 전이할 때 [eqn: f _{x} =f _{a} -f _{b}]인 빛을 방출한다.

[정답] ⑤

ㄴ. [eqn: f_{rm B}]는 방출되는 에너지가 두 번째로 큰 전이 과정에서 방출되는 빛의 진동수이다. 따라서 [eqn: f_{rm B}]는 전자가 [eqn: E _{rm 2 it}]에서 [eqn: E _{rm 1 it}]으로 전이하는 과정에서 방출되는 빛의 진동수이다.

해설

ㄷ. [eqn: E _{rm 3 it} -E _{rm 2 it} =hf _{rm C it}]이므로 [eqn: f _{rm C it}= { E _{rm 3 it} -E _{rm 2 it} } over {h }]이다.

ㄱ. ‘진공에서 빛의 속력(일정) = 진동수 × 파장’이므로 진동수와 파장은 반비례 관계이다. 따라서 진공에서 파장은 진동수가 [eqn: f_{ rmA}]인 빛이 진동수가 [eqn: f_{rm B}]인 빛보다 짧다.

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[정답] ②

② 수소 기체 방전관에서 나오는 빛은 불연속적인 방출 선 스펙트럼이므로 C이다.

해설

① LCD는 빛의 삼원색을 이용하여 색을 표현한다. 따라서 흰색이 표현된 LCD 화면에서 나오는 빛의 스펙트럼은 빨강, 초록, 파랑의 세 빛이 나타난 것으로 볼 수 있는 D이다.

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③ 백열등에서 나오는 빛은 연속 스펙트럼이므로 A이다.

④ 저온 기체관을 통과한 백열등 빛의 스펙트럼은 흡수 선 스펙트럼이므로 B이다. 이때 B의 선의 위치는 C와는 다르므로 저온 기체관에 들어 있는 기체는 수소 기체가 아니다.

⑤ 수소 기체 방전관에서 불연속적인 방출 선 스펙트럼이 나오는 이유는 수소 원자의 에너지 준위가 불연속적이기 때문이다.

[정답] ③

ㄱ. 전자가 [eqn: E _{3}]에서 [eqn: E _{2}]인 에너지 준위로 전이할 때 방출하는 에너지 [eqn: hf _{A} =□E _{3} -E _{2} □]이므로 [eqn: f _{A} = {E _{3} -E _{2}} over {h}]이다.

해설

ㄷ. C에서 방출되는 광자 1개의 에너지는 두 에너지 준위 차이만큼의 에너지를 방출하므로 [eqn: hf _{C}]이다.

ㄴ. A에서 방출되는 [eqn: f _{A}]가 가시광선 영역에 속하는 진동수이므로 [eqn: E _{1}]로 전이할 때 방출되는 [eqn: f _{B}]는 자외선 영역에 속하는 진동수이다.

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[정답] ③

ㄱ. 광자 한 개의 에너지는 파장에 반비례한다. 파장은 a에서가 b에서보다 작으므로 광자 한 개의 에너지는 a에서가 b에서보다 크다.

해설

ㄴ. b에서 방출하는 에너지와 d에서 흡수하는 에너지는 같다. c는 d 다음으로 큰 에너지를 흡수하는 전이 과정이므로 ㉡에 의해 나타난 스펙트럼선이다.

ㄷ. d에서 흡수하는 에너지는 b에서 방출하는 에너지와 같으므로 d에서 흡수하는 광자의 진동수([eqn: f])는

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[eqn: E _{3} -`E _{2} =hf]에서 [eqn: f= {E _{3} -`E _{2}} over {h}]이다.

[정답] ④

④ C의 진동수는 B의 진동수보다 큰 빛이므로 C를 광전관에 비추면 광전자가 방출된다.

해설

① 광전관에 A를 비추었을 때는 광전자가 방출되지 않았고, B를 비추었을 때는 광전자가 방출되었으므로 진동수는 B가 A보다 크다.

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② 빛의 에너지는 파장에 반비례하고 에너지는 C가 D보다 크므로 파장은 D가 C보다 길다.

③ D는 적외선 영역에 속한다.

⑤ A는 광전관 금속판의 문턱 진동수보다 작은 진동수의 빛이므로 A의 세기를 증가시켜도 광전자는 방출되지 않는다.

[정답] ①

ㄱ. 전자가 전이할 때 방출되는 광자 1개의 에너지는 두 에너지 준위의 차이에 해당하는 에너지이므로 방출되는 광자 1개의 에너지는 에너지 준위의 차이가 큰 a에서가 b에서보다 크다.

해설

ㄴ. c에서 흡수되는 광자 1개의 에너지는 –0.85-(-1.51)=0.66eV이다.

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ㄷ. 빛의 속력을 [eqn: c], 플랑크 상수를 [eqn: h]라고 할 때, [eqn: {hc} over {lambda _{a}}]=[eqn: {hc} over {lambda _{b}}]+[eqn: {hc} over {lambda _{c}}]이므로 [eqn: {1} over {lambda _{a}}]=[eqn: {1} over {lambda _{b}}]+[eqn: {1} over {lambda _{c}}]이다.

[정답] ①

[eqn: n=3]인 상태의 전자가 진동수 [eqn: f_A]인 빛을 흡수하여 전이하였으므로 전자는 높은 에너지 준위로 전이하였고, 진동수 [eqn: f_B]와 [eqn: f_C]인 빛을 차례로 방출하며 전이하였으므로 전자는 차례로 낮은 에너지 준위로 전이한다. 진동수의 크기가 [eqn: f_B < f_A < f_C]이므로 가장 적절한 전이 과정은 ①번이다.

해설

[정답] ①

ㄴ. 플랑크 상수를 [eqn: h], 빛의 속력을 [eqn: c]라고 할 때,

해설

[eqn: {hc} over {lambda _{a}} = {hc} over {lambda _{b}} + {hc} over {lambda _{c}}]이므로 [eqn: {1} over {lambda _{a}} = {1} over {lambda _{b}} + {1} over {lambda _{c}}]이다.

ㄱ. a에서 전자는 높은 에너지 준위에서 낮은 에너지 준위로 전이하므로 빛을 방출한다.

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ㄷ. [eqn: {E _{3} -E _{1}} over {E _{3} -E _{2}} = {{hc} over {lambda _{a}}} over {{hc} over {lambda _{c}}} = {lambda _{c}} over {lambda _{a}}]이다.

[정답] ②

ㄴ. 방출되는 빛의 진동수는 에너지 준위의 차이에 비례하므로 에너지 준위 차이가 큰 a>b>c 순이다.

해설

ㄱ. (나)에서 ㉠은 파장이 가장 길다. 파장이 가장 긴 빛은 진동수가 가장 작으며, 진동수가 가장 작으려면 에너지 준위의 차이가 가장 작으면 된다. 따라서 c에 의해 나타난 스펙트럼이다.

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ㄷ. 전자가 [eqn: n=4]에서 [eqn: n=3]인 상태로 전이할 때의 에너지 차이는 [eqn: E _{4} -E _{3} =`hf _{rmb} -hf _{rmc}][eqn: =h {c} over {lambda _{rmb}} `-`h {c} over {lambda _{rmc}}] 이다. 따라서 이때 방출되는 빛의 파장을 [eqn: lambda]라고 하면,

[eqn: {hc} over {lambda } `=` {hc} over {lambda _{rm b it}} `-` {hc} over {lambda _{rm c it}} `=` {lambda _{rmc} - lambda _{rmb}} over {lambda _{rmb} lambda _{rmc}}] 이므로, [eqn: lambda =` {lambda _{rmb} lambda _{rmc}} over {lambda _{rmc} - lambda _{rmb}}]이다.

[정답] ①

(나)의 A에 해당하는 빛의 진동수가

해설

[eqn: f_A]= [eqn: {LEFT | E _{m} -E _{n} RIGHT | } overh]=[eqn: { 5 E _{ 0 } }over{ h }]=[eqn: {-4E_0 -(-9E_0 ) } over { h}]이므로, A는 전자가 n=3인 상태에서 n=2인 상태로 전이할 때 방출되는 빛에 의한 스펙트럼선이다. 전자가 들뜬 상태에서 n=2인 상태로 전이할 때 방출되는 빛은 가시광선(발머 계열)이므로, (나)에서 A는 가시광선 영역(발머 계열) 중에서 파장이 가장 긴 빛에 해당한다. B는 가시광선 영역(발머 계열) 중에서 파장이 세 번째로 긴 빛이므로, 전자가 n=5인 상태에서 n=2인 상태로 전이할 때 방출되는 빛에 의한 스펙트럼선이다. 또 전자가 [eqn: n = 2]에서 [eqn: n = 5]로 전이할 때 흡수하는 빛에도 해당한다.

[정답] ③

ㄱ. 전자가 전이할 때 흡수되는 광자(빛) 1개의 에너지 는 진동수에 비례하므로, 에너지 준위 차가 클수록 진동수가 큰 빛이 흡수된다. 에너지 준위 차는 a에서가 b에서보다 작으므로, 흡수되는 빛의 진동수는 a에서가 b에서보다 작다.

해설

ㄴ. 광자(빛) 1개의 에너지는 진동수에 비례하고 파장에 반비례한다. ㉠은 파장이 가장 작은 스펙트럼선이므로 진동수가 가장 크다. 에너지 준위 차가 클수록 진동수가 큰 빛을 흡수하므로, ㉠은 c에 의해 나타난 스펙트럼선이다.

ㄷ. 전자가 전이할 때 방출되는 광자 1개의 에너지는 두 에너지 준위의 차와 같다. d에서 방출되는 광자 1개의 에너지는 [eqn: vert E _{4} -E _{1} vert]이므로 [eqn: vert E _{2} -E _{1} vert]보다 크다.

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[정답] ⑤

ㄱ. 전자가 한 에너지 준위(n)에서 다른 에너지 준위(m)로 전이할 때, 흡수되거나 방출되는 광자 1개의 에너지는 두 에너지 준위의 차와 같으며, 진동수에 비례하고 파장에 반비례한다. 에너지 준위 차는 a에서가 b에서보다 작으므로, 방출되는 빛

해설

의 파장은 a에서가 b에서보다 길다.

ㄴ. 두 에너지 준위 차가 클수록 전자가 전이할 때 방출되는 빛의 진동수가 크다. 에너지 준위 차는 a에서가 c에서보다 크므로, 방출되는 빛의 진동수는 a에서가 c에서보다 크다.

ㄷ. 전자가 전이할 때 흡수되거나 방출되는 광자 1개의 에너지는 두 에너지 준위의 차와 같으므로, d에서 흡수되는 광자 1개의 에너지는 -0.85-(-3.40)=2.55(eV)이다.

[정답] ②

ㄴ. 전자가 전이할 때 방출되거나 흡수되는 빛의 진동수는 두 에너지 준위 차에 비례한다. 에너지 준위 차는 c에서가 b에서보다 크므로, 방출되는 빛의 진동수는 c에서가 b에서보다 크다.

해설

ㄱ. 전자가 전이할 때 흡수되거나 방출되는 광자 1개의 에너지는 두 에너지 준위의 차와 같으므로, a에서 흡수되는 광자 1개의 에너지는 -0.54-(-1.51)=0.97(eV)이다.

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ㄷ. 전자가 전이할 때 방출되는 광자 1개의 에너지는 파장에 반비례한다. 즉 에너지 준위 차가 클수록 파장이 작은 빛이 방출된다. 파장은 ㉠이 ㉡보다 작으므로, 에너지 준위 차는 ㉠의 경우가 ㉡의 경우보다 크다. ㉠이 c에 의해 나타난 스펙트럼선이라면, ㉡은 이보다 에너지 준위 차가 작은 b에 의해 나타난 스펙트럼선이다.