정답률 낮은 문제_정답과 해설

물리학Ⅰ

Ⅰ. 역학과 에너지

정답률 낮은 문제_물리학Ⅰ

[정답] ③

눈썰매가 정지 상태에서 [eqn: x]만큼 이동하여 P까지 운동하는 데 걸리는 시간을 [eqn: t]라고 하자. P에서 Q까지 평균 속력이 [eqn: 10`m/s]이고 걸린 시간이 3초이므로 시간의 절반인 1.5초를 지날 때, 즉 출발점으로부터 [eqn: (t+1.5)]초일 때 눈썰매의 속력은 [eqn: 10`m/s]이다. Q에서 R까지 평균 속력이 [eqn: 15`m/s]이고 걸린 시간이 2초이므로 시간의 절반인 1초를 지날 때, 즉 출발점으로부터 [eqn: (t+4)]초일 때 눈썰매의 속력은 [eqn: 15`m/s]이다.

눈썰매가 P를 지날 때 속력을 [eqn: v _{p}], Q를 지날 때 속력을 [eqn: v _{Q}]라 할 때, 눈썰매의 속력을 시간에 따라 나타내면 다음과 같다.

(×)ㄱ. 속력 - 시간 그래프에서 기울기는 가속도를 의미한다. [eqn: (t+1.5)]초일 때 눈썰매의 속력은 [eqn: 10`m/s]이고 [eqn: (t+4)]초일 때 속력은 [eqn: 15`m/s]이므로 눈썰매의 가속도의 크기는 [eqn: {15-10} over {(t+4)-(t+1.5)} = {5``m/s} over {2.5``s} =2``m/s ^{2}]이다.

(×)ㄴ. [eqn: 가속도= {속력`변화량} over {걸린`시간}]에서 눈썰매의 가속도의 크기는 [eqn: 2`m/s ^{2}]이므로 P를 지날 때 속력은 [eqn: 2= {10-v _{rmP}} over {(t+1.5)-t} = {10-v _{rmP}} over {1.5}]에서 [eqn: v _{P} =7`m/s]이다. 그래프에서 [eqn: 2= {v _{P}} over {t}]에서 [eqn: t= {7} over {2}]초이다. 따라서 눈썰매의 이동 거리 [eqn: x]는 0초부터 [eqn: t]초까지 이동한 거리이므로 이는 속력 - 시간 그래프 아랫부분의 넓이와 같다. 따라서 [eqn: x= {1} over {2} v _{rm P it} `t= {1} over {2} TIMES 7 TIMES {7} over {2} = {49} over {4} ```rmm]이다.

(○)ㄷ. 출발선에서 도착선까지의 거리는 100 m이고, 도착선에 도달하는 순간의 속력을 [eqn: v]라고 할 때, 등가속도 운동 식 [eqn: v ^{2} -v _{0}^{2} =2as]에서 [eqn: v ^{2} =2 TIMES 2 TIMES 100]이므로 [eqn: v=20`rm``m/s] 이다.

[정답] ①

A와 B는 동일한 경사면에서 등가속도 운동을 하므로 가속도의 크기는 A와 B가 같다. 따라서 같은 시간 동안 속도 변화량의 크기는 A와 B가 같음을 알 수 있다. 빗면 위 방향을 [eqn: (+)]로 하면 [eqn: T]일 때 B의 속도는 [eqn: -3v _{0}]이다. A와 B의 가속도는 같으므로 B를 가만히 놓은 순간부터 A와 B가 만날 때까지 속도 변화량의 크기는 A와 B가 같다. [eqn: T]일 때 B의 속도 변화량의 크기는 [eqn: 3v _{0}]이다. p에서 A의 속도는 [eqn: v _{0}]이므로 [eqn: T]일 때 A의 속력은 [eqn: 2v _{0}]이다. A와 B의 속도를 시간에 따라 나타내면 다음과 같다.

(○)ㄱ. p와 q 사이의 거리는 B를 가만히 놓은 순간부터 [eqn: T]까지 이동한 거리의 차이와 같다.

B가 A와 만나는 순간까지 이동한 거리는 속도 - 시간 그래프에서의 면적이므로 [eqn: {3} over {2} v _{0} T]이다.

A는 [eqn: {T} over {3}]일 때 운동 방향이 바뀌므로 B와 만날 때까지 A가 이동한 거리는 [eqn: {2} over {3} v _{0} T- {1} over {6} v _{0} T= {1} over {2} v _{0} T]이다.

따라서 p와 q 사이의 거리는 [eqn: {3} over {2} v _{0} T- {1} over {2} v _{0} T=v _{0} T]이다.

(×)ㄴ. A가 최고점에 도달하는 순간은 A의 운동 방향이 바뀌는

[eqn: {T} over {3}]일 때이고, B를 가만히 놓는 순간 A와 B 사이의 거리는 [eqn: v _{0} T]이었다. A가 최고점에 도달하는 순간까지, A가 빗면 위 방향으로 이동한 거리는 [eqn: {1} over {6} v _{0} T]이고 B가 빗면 아래 방향으로 내려간 거리는 [eqn: {1} over {6} v _{0} T]이다.

따라서 A가 최고점에 도달하는 순간 A와 B 사이의 거리는 [eqn: v _{0} T-( {1} over {6} v _{0} T+ {1} over {6} v _{0} T)=v _{0} T- {1} over {3} v _{0} T= {2} over {3} v _{0} T]이다.

(×)ㄷ. A와 B가 만나는 순간, 즉 T일 때 A의 속력은 [eqn: 2v _{0}]이다.

[정답] ④

물체가 빗면을 올라갔다 내려오는 동안 역학적 에너지는 보존되므로 수평면으로부터 높이가 같은 지점에서의 속력은 같다.

왼쪽 빗면 위의 점 p, q, r에서의 속력을 각각 [eqn: v _{1}], [eqn: v _{2}], [eqn: v _{3}]이라고 하면, 오른쪽 빗면 위의 점 s, t, u에서의 속력은 각각 [eqn: v _{3}], [eqn: v _{2}], [eqn: v _{1}]이다.

왼쪽 빗면과 오른쪽 빗면에서 물체는 각각 등가속도 운동을 하므로 이동 거리는 평균 속력과 시간의 곱과 같다. 따라서 [eqn: L _{1} = {v _{1} +v _{2}} over {2} TIMES t _{0} ,``L _{2} = {v _{2} +v _{3}} over {2} TIMES t _{0} ,``L _{3} = {v _{2} +v _{3}} over {2} TIMES {t _{0}} over {2}]이다.

왼쪽 빗면에서 [eqn: L _{1}]과 [eqn: L _{2}]의 빗면의 기울기가 같으므로 가속도의 크기가 같다. 따라서 [eqn: {v _{2} -v _{1}} over {t _{0}} = {v _{3} -v _{2}} over {t _{0}}]이고, t에서 u까지 운동하는 데 걸린 시간을 T라고 하면 오른쪽 빗면에서 [eqn: L _{3}]과 [eqn: L _{4}]의 가속도의 크기가 같으므로 [eqn: {v _{2} -v _{3}} over {{t _{0}} over {2}} = {v _{1} -v _{2}} over {T}]이다.

따라서 [eqn: T= {t _{0}} over {2}]이고, [eqn: L _{4} = {v _{1} +v _{2}} over {2} TIMES {t _{0}} over {2}]이다. [eqn: L _{2} =L _{4}]이므로 [eqn: {v _{1} +v _{2}} over {v _{2} +v _{3}} =2]이다. 따라서 [eqn: {L _{1}} over {L _{3}} = {2(v _{1} +v _{2} )} over {v _{2} +v _{3}} =4]이다.

[정답] ⑤

A를 놓은 후 2초일 때 C는 지면에 도달하고, 2초 이후에 A는 등속도 운동을 하므로 2초 이후에 A, B에 작용한 알짜힘은 0이다.

(○)ㄱ. A, B, C의 질량을 각각 [eqn: m _{rmA}], [eqn: m _{rmB}], [eqn: m _{rmC}]라고 하면, A에 [eqn: F]를 작용할 때 A, B, C는 정지해 있으므로 운동 방정식은 [eqn: m _{rmA} g+F=(m _{rmB} +m _{rmC} )g]이다. 잡고 있던 A를 놓은 후 2초일 때 C는 지면에 도달하고 A와 B는 등속도 운동을 한다. 따라서 A와 B의 질량은 같다. [eqn: m _{rmA}]=[eqn: m _{rmB}]이므로 F=[eqn: m _{rmC} `g]이다.

(○)ㄴ. 0초부터 2초까지 A, B, C의 가속도 크기는 [eqn: {4} over {2} =2```rmm/s ^{2}]이다.

따라서 [eqn: (m _{rmB} +m _{rmC} -m _{rmA} ) TIMES 10=(m _{rmA} +m _{rmB} +m _{rmC} ) TIMES 2]이고 [eqn: m _{rmA} =m _{rmB} =m]이라고 하면 [eqn: m=2m _{rmC}]이다. 따라서 질량은 A가 C의 2배이다.

(○)ㄷ. 1초일 때, p, q가 B를 당기는 힘의 크기를 각각 [eqn: T _{rmp}], [eqn: T _{rmq}]라고 하면 B에 작용하는 힘은 [eqn: T _{rmq} +10m _{rmB} -T _{rmp} =2m _{rmB}]이다. [eqn: T _{rmp} -T _{rmq} =8m _{rmB}]이므로 [eqn: T _{rmp}] > [eqn: T _{rmq}]이다. 따라서 p가 B를 당기는 힘의 크기는 q가 B를 당기는 힘의 크기보다 크다.

[정답] ④

놀이 기구가 올라갔다 내려오는 동안 놀이 기구에 작용하는 힘과 알짜힘은 다음과 같다.

구분	놀이 기구에 작용하는 힘	알짜힘
[eqn: t=0부터``t=T까지]	[eqn: 3mg], 중력	[eqn: 3mg-mg=2mg]
[eqn: t=T부터``t=4T까지]	중력	[eqn: -mg]
[eqn: t=4T부터``지면까지]	[eqn: F], 중력	[eqn: F-mg]

위 방향을 [eqn: (+)]라 하면, 놀이 기구의 질량이 [eqn: m]이므로 [eqn: t=0]부터 [eqn: t=T]까지 놀이 기구에 작용하는 알짜힘 [eqn: 2mg=m TIMES 2g]에서 가속도의 크기가 [eqn: 2g]인 등가속도 운동을 하므로 속력이 증가한다. [eqn: t=T] 부터 [eqn: t=4T] 까지 운동 방향과 반대 방향으로 중력만 작용하므로 알짜힘이 [eqn: -mg]이다. 따라서 놀이 기구는 가속도의 크기가 [eqn: g]인 등가속도 운동을 하며 속력이 감소한다.

[eqn: t=T`` prime]일 때 놀이 기구가 지면에 도달한다고 하면 [eqn: t=0]부터 [eqn: t=T`` prime]까지 출발점과 도착점의 위치가 같으므로 놀이 기구의 변위는 0이다.

놀이 기구의 속도를 시간에 따라 나타내면 다음과 같다. 속도 - 시간 그래프 아랫부분의 넓이는 변위이므로 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=T`` prime]까지 그래프 아랫부분의 넓이는 0이다.

놀이 기구는 [eqn: t=3T]일 때 최고점에 도달하여 정지할 때까지 [eqn: 3gT ^{2}]만큼 이동한 후 [eqn: t=3T]부터 지면에 도달할 때까지 지면을 향해 내려온다. [eqn: t=4T]일 때 놀이 기구의 속력은 [eqn: gT]이므로 [eqn: t=4T]부터 [eqn: t=T`` prime]까지 이동 거리는 [eqn: {5} over {2} gT ^{2}]이 되어야 한다. [eqn: (T`` prime -4T) TIMES {1} over {2} gT= {5} over {2} gT ^{2}]에서 [eqn: T`` prime =9T]이다.

따라서 [eqn: t=4T]부터 [eqn: t=9T]까지 놀이 기구의 가속도의 크기는 [eqn: {gT} over {9T-4T} = {1} over {5} g]이므로 물체에 작용하는 알짜힘의 크기는 [eqn: F-mg= {1} over {5} mg]에서 [eqn: F= {6} over {5} mg]이다.

[정답] ⑤

그래프에서 A의 가속도의 크기가 변하는 2초일 때 실이 끊어진다.

(○)ㄱ. 속력 - 시간 그래프에서 기울기는 가속도이므로 실이 끊어지기 전 A의 가속도의 크기는 [eqn: 5`` rm m/s ^{2}]이고, 실이 끊어진 후 A의 가속도의 크기는 [eqn: 10`` rm m/s ^{2}]이다. 빗면과 나란한 아래 방향으로 B에 작용하는 중력의 크기를 [eqn: W] 라고 하면, 실이 끊어지기 전 A와 B에 작용하는 힘은 [eqn: F-W=(m+2) TIMES5]… ①이다.

B의 가속도의 크기는 실이 끊어지기 전과 후가 같으므로 실이 끊어진 후 B에 작용하는 알짜힘은 빗면에 나란한 아래 방향으로 작용하는 중력의 크기와 같다. 따라서 [eqn: W={RM2``kg TIMES 5``m/s ^{2} =10``N] … ②이다.

실이 끊어진 후 A의 가속도의 크기는 10 m/s2이므로 [eqn: F=m TIMES10] … ③이다.

①，③식을 연립하면 [eqn: 10m-10=(m+2) TIMES5]에서 [eqn: 5m=20]이므로 [eqn: m] = 4 kg이다.

(○)ㄴ. 1초일 때 가속도의 크기는 A와 B가 같으므로 B의 가속도의 크기는 5 m/s2이다. 따라서 B에 작용하는 알짜힘의 크기는 2 kg × 5 m/s2=10 N이다.

(○)ㄷ. 실이 끊어지는 순간인 2초일 때 B의 속력은 15 m/s이고 실이 끊어진 후 B의 가속도는 빗면 아래 방향이므로 –5 m/s2이다. 3초일 때 B의 속력을 [eqn: v]라고 하면, 등가속도 운동 식 [eqn: v=v _{ 0}+at]에서 [eqn: v=15-5 TIMES1]=10 m/s이다. 따라서 3초일 때 B의 운동량의 크기는 [eqn: p=mv]=2 kg × 10 m/s = 20 kg·m/s이다.

[정답] ⑤

A에 작용하는 중력의 크기가 용수철의 탄성력 크기보다 큰 구간에서는 A와 B의 속력이 증가하고, A에 작용하는 중력의 크기와 용수철의 탄성력 크기가 같아지는 순간 A와 B의 속력이 최대가 된다. 용수철 탄성력의 크기가 A에 작용하는 중력의 크기보다 커지면 A와 B의 속력은 감소하고, 용수철의 길이가 [eqn: L]일 때 A와 B의 속력은 0이다. 이때 용수철이 늘어난 길이는 [eqn: L-L _{0}]이다. 따라서 A와 B의 속력이 최대가 되는 순간 용수철이 늘어난 길이는 [eqn: {L-L _{0}} over {2}]이다.

(○)ㄱ. 역학적 에너지 보존 법칙에 따라 증가한 역학적 에너지와 감소한 역학적 에너지의 크기는 같아야 한다. 물체가 (가)에서 (나)까지 운동하는 동안 증가한 역학적 에너지는 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지이고, 감소한 역학적 에너지는 물체 A의 중력 퍼텐셜 에너지이므로 [eqn: {1} over {2} k(L-L _{0} ) ^{2}][eqn: =mg(L-L _{0} )]이다. 따라서 [eqn: L-L _{0} = {2mg} over {k}]…①이다.

(○)ㄴ. 용수철의 길이가 [eqn: L]인 순간에는 용수철의 탄성력이 물체 A에 작용하는 중력의 크기보다 크다. 따라서 용수철의 길이가 [eqn: L]일 때 A의 속력은 0이지만, A에 알짜힘이 위 방향으로 작용한다.

(○)ㄷ. 용수철의 속력이 최대가 되는 순간은 용수철이 [eqn: {L-L _{0}} over {2}]만큼 늘어난 순간이다. 이때 물체 A와 B의 속력을 [eqn: v]라고 하면, 역학적 에너지 보존 법칙에 의해 [eqn: mg LEFT ( {L-L _{0}} over {2} RIGHT ) = {1} over {2} (2m)v ^{2} + {1} over {2} k LEFT ( {L-L _{0}} over {2} RIGHT ) ^{2}]…②이다.  식 ②에 식 ①을 대입하여 정리하면 [eqn: v= sqrt {{m} over {2k}} `g]이다. 따라서 B의 최대 속력 [eqn: v= sqrt {{m} over {2k}} `g]이다.

[정답] ②

물체에 작용한 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같으므로 A는 [eqn: 0 LEQ x LEQ L]에서 운동 에너지는 [eqn: F _{rmA} L]만큼 증가하고, [eqn: L LEQ x LEQ 4L]에서 A에 힘이 작용하지 않아 A는 등속도 운동을 하므로 운동 에너지는 변하지 않는다.

B는 [eqn: 0 LEQ x LEQ L]에서 운동 에너지는 [eqn: F _{rmB} L]만큼 증가하고, [eqn: L LEQ x LEQ 3L]에서 등속도 운동을 하므로 운동 에너지는 일정하다가 [eqn: 3L LEQ x LEQ 4L]에서 운동 에너지는 [eqn: F _{rmB} L]만큼 감소하므로 [eqn: x=4L]에서 정지한다.

[eqn: x=L]에서 A, B의 속력을 각각 [eqn: v _{rmA}], [eqn: v _{rmB}]라고 하고 A, B의 속력을 시간에 따라 나타내면 다음과 같다. 속력 - 시간 그래프에서 그래프 아랫부분의 넓이는 이동 거리이다.

A와 B의 평균 속력은 같으므로 [eqn: 2.5t _{rmA} =3t _{rmB}] … ① 이고,

[eqn: L= {1} over {2} v _{rmA} t _{rmA} = {1} over {2} v _{rmB} t _{rmB}]에서 [eqn: v _{rmA} t _{rmA} =v _{rmB} t _{rmB}] … ②이다.

①, ②를 정리하면 [eqn: {t _{rmB}} over {t _{rmA}} = {v _{rmA}} over {v _{rmB}} = {5} over {6}]이다. A, B의 질량을 [eqn: m]이라고 하면, [eqn: {W _{rm A it}} over {W _{rm B it}} = {F _{rm A it} L} over {F _{rm B it} L} = {{1} over {2} mv _{rm A it}`^{2}} over {{1} over {2} mv _{rm B it}`^{2}} = LEFT ( {v _{rm A it}} over {v _{rm B it}} RIGHT ) ^{2} = {25} over {36}]이다.

[정답] ②

물체의 중력 퍼텐셜 에너지는 높이에 비례하고, 역학적 에너지가 보존되므로 물체의 퍼텐셜 에너지 감소량은 운동 에너지 증가량과 같다. d점을 기준면으로 할 때 각 점에서의 에너지는 다음과 같다.

구분	중력 퍼텐셜 에너지[eqn: rm(J)]	운동 에너지[eqn: rm(J)]	역학적 에너지[eqn: rm(J)]
a	60	0	60
b	50	[eqn: {1} over {2} mv ^{2} =10]	60
c	20	[eqn: {1} over {2} m(2v) ^{2} =40]	60
d	0(기준면)	60	60

(×)ㄱ. a에서 c까지 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 [eqn: rm 40``J]이므로 운동 에너지 증가량은 [eqn: rm 40``J]이다. 이때 c에서의 속력은 b에서의 2배이므로 운동 에너지는 c에서가 b에서의 22 = 4배이다. c에서의 운동 에너지는 [eqn: rm 40``J]이므로 b에서 운동 에너지는 [eqn: rm 10``J]이고, a에서 b까지 감소한 중력 퍼텐셜 에너지는 [eqn: rm 10``J]이다. 따라서 a와 b 사이의 거리를 [eqn: h _{rmab}]라고 하면, [eqn: 1 TIMES 10 TIMES h _{rmab}]=10에서 [eqn: h _{rmab}]=1 m이다.

(×)ㄴ. a와 c 사이의 거리는 4 m이고 a와 b 사이의 거리는 1 m이므로 b와 c 사이의 거리는 3 m이다. 물체가 b에서 d까지 내려오는 동안 감소한 중력 퍼텐셜 에너지는 [eqn: rm 50``J]이므로 b와 d 사이의 거리는 5 m이다. 따라서 c와 d 사이의 거리는 2 m이다. 중력이 물체에 한 일은 물체의 무게와 이동 거리의 곱이므로 c와 d 사이에서 중력이 물체에 한 일은 1 kg×10 m/s2×2 m=20 [eqn: rmJ]이다.

(○)ㄷ. a와 d 사이의 거리는 6 m이므로 물체가 a에서 d까지 운동하는 동안 감소한 중력 퍼텐셜 에너지는 1 kg × 10 m/s2 × 6 m

=60 [eqn: rmJ]이다. 따라서 d에서 속력을 [eqn: v _{rmd}]라고 하면, [eqn: {1} over {2} TIMES 1 TIMES v _{rmd}`^{2} =60]에서 [eqn: v _{rmd`} =2 sqrt {30}] m/s이다.

[정답] ③

(○)ㄱ. 놀이 기구가 지면에서 Q까지 올라가는 동안 놀이 기구에 힘이 한 일은 물체의 역학적 에너지 변화량과 같다. 놀이 기구가 지면에서 Q까지 올라가는 동안 운동 에너지 변화량은 0이고, 중력 퍼텐셜 에너지 변화량은 [eqn: 3mgh]이므로 역학적 에너지 변화량은 [eqn: 3mgh]이다. 따라서 지면에서 Q까지 운동하는 동안 힘이 한 일은 모두 중력 퍼텐셜 에너지로 전환되므로 Q에서 놀이 기구의 중력에 의한 퍼텐셜 에너지는 [eqn: rmF]가 한 일과 같다.

(○)ㄴ. 힘은 P까지만 작용하였으므로 힘이 한 일은 [eqn: rmF it h]이다. [eqn: rmF]가 한 일은 Q에서 중력에 의한 퍼텐셜 에너지와 같으므로 [eqn: rmF ith=3mgh]에서 [eqn: rmF=3itmg]이다.

(×)ㄷ. 놀이 기구의 질량을 [eqn: m]이라고 하면 놀이 기구가 지면에서 P까지 올라가는 동안 놀이 기구에 작용하는 알짜힘의 크기는 [eqn: rmF-itmg=3mg-mg=2mg]이므로 놀이 기구의 가속도의 크기는 [eqn: 2g={rm20`m/s ^{2}]이다.

P에서 Q까지 올라가는 동안 놀이 기구에 작용하는 힘은 중력뿐이므로 [eqn: mg]에서 놀이 기구의 가속도의 크기는 [eqn: g]이다. 지면에서 Q까지 이동하는 데 걸린 시간이 3초이고, 지면에서 P까지와 P에서 Q까지 가속도의 크기의 비가 2 : 1이므로 지면에서 P까지 걸린 시간은 1초이다. 놀이 기구의 속력을 시간에 따라 나타내면 오른쪽과 같다. 속력 - 시간 그래프 아랫부분의 넓이는 이동 거리를 의미하므로 [eqn: h=10` rm m it]이다.

[정답] ①

[eqn: x=0]부터 [eqn: x=rm2``m]까지 [eqn: F]의 크기는 B에 작용하는 중력의 크기보다 크다. 따라서 A와 B는 속력이 증가한다. [eqn: x=rm2``m]부터 [eqn: x= rm 4``m]까지 [eqn: F]의 크기는 B에 작용하는 중력의 크기보다 작다. 따라서 A와 B는 속력이 감소한다. 따라서 A의 최대 속력은 [eqn: x=rm2``m]일 때이다.

(○)ㄱ. [eqn: x=3``m]일 때 [eqn: F]의 크기는 15 N이므로 A와 B의 가속도를 [eqn: a]라고 하면, A와 B의 운동 방정식 [eqn: 15-20=(3+2)a]에서 [eqn: a= {-5} over {5} =`-1 rm (m/s ^{2} )]이다.

실이 B를 당기는 힘의 크기를 [eqn: T]라고 하면 B의 운동 방정식 [eqn: 20-T=2 TIMES 1]에서 [eqn: T=RM18``N]이다.

(×)ㄴ. [eqn: F]가 A와 B에 한 일은 A와 B의 역학적 에너지 증가량과 같다. A는 수평면에서 운동하므로 A의 역학적 에너지 증가량은 A의 운동 에너지 증가량과 같다. 따라서 [eqn: F]가 한 일=A의 운동 에너지 증가량+B의 역학적 에너지 증가량이므로 [eqn: F]가 한 일은 B의 역학적 에너지 증가량보다 크다.

(×)ㄷ. [eqn: 0SIM2rm``m]까지 알짜힘의 방향이 운동 방향과 같아 속력이 증가하지만, 2초 이후 알짜힘의 방향이 운동 방향과 반대가 되므로 [eqn: x=rm2``m]일 때, A는 최대 속력으로 운동한다.

A가 [eqn: x=0]부터 [eqn: x=rm2``m]까지 운동하는 동안 A의 운동 에너지 증가량을 [eqn: DELTA K _{A}], B의 운동 에너지 증가량을 [eqn: DELTA K _{rmB}], B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량을 [eqn: DELTA E _{rmB}]라고 하면 [eqn: F]가 한 일은 [eqn: rm 30`N` TIMES 2`m it = DELTA K _{rmA} + DELTA K _{rmB} + DELTA E _{rmB}]이다.

[eqn: DELTA E _{rmB} = rm 20`N TIMES 2`m=40`J]이고, 실로 연결된 물체의 속력은 같으므로 운동 에너지는 질량에 비례한다. 질량은 B가 A의 [eqn: {2} over {3}]배이므로, [eqn: DELTA K _{rmB} = {2} over {3} DELTA K _{rmA}]이다. 따라서 60 J = [eqn: {5} over {3} DELTA K _{rmA}]+40 J에서 [eqn: DELTA K _{rmA}] = 12 J이다.

A의 최대 속력을 [eqn: v]라고 할 때, [eqn: {1} over {2} mv ^{2} =12]이므로 [eqn: {1} over {2} TIMES 3 TIMES v ^{2} =12]에서 [eqn: v ^{2} =8]이다. 따라서 [eqn: v]는 [eqn: 2 sqrt {2}] m/s이다.

[정답] ③

(○)ㄱ. A와 B의 높이 변화량은 [eqn: h]로 같고, 질량은 A와 B가 같으므로 중력이 한 일은 A와 B가 서로 [eqn: mgh]로 같다.

(○)ㄴ. 물체가 경사면을 내려오는 동안 역학적 에너지는 보존되므로 감소한 중력 퍼텐셜 에너지는 증가한 운동 에너지와 같다. A, B의 높이 변화량이 같으므로 중력 퍼텐셜 에너지는 같다. 따라서 운동 에너지 변화량은 A와 B가 서로 같다.

(×)ㄷ. A와 B가 높이가 [eqn: h]인 지점을 동시에 통과하는 순간, 경사면의 기울기는 B가 A보다 크므로 가속도의 크기는 B가 A보다 크다. 높이가 [eqn: h]인 지점에서 수평면에 도달할 때까지 평균 속력은 A와 B가 같으므로 높이가 [eqn: h]인 지점에서의 속력은 A가 B보다 크다.

같은 높이인 [eqn: h]인 지점에서 중력 퍼텐셜 에너지는 같고, 운동 에너지는 A가 B보다 크므로 역학적 에너지는 A가 B보다 크다.

[정답]  ②

물체의 질량을 [eqn: m], A에 들어가기 전 속력을 [eqn: v _{1}], A를 빠져 나온 후 속력을 [eqn: v _{2}], B에 들어가기 전 속력을 [eqn: v _{3}], B를 빠져 나온 후 속력을 [eqn: v _{4}]라고 할 때, 궤도를 운동하는 동안 각 위치에서의 에너지는 다음과 같다.

구분	중력 퍼텐셜 에너지[eqn: rm(J)]	운동 에너지[eqn: rm(J)]	역학적 에너지[eqn: rm(J)]
출발	[eqn: mgh]	0	[eqn: mgh]
A에 들어가기 전	0	[eqn: {1} over {2} mv _{1}^{2}]	[eqn: {1} over {2} mv _{1}^{2}]
A를 빠져 나온 후	0	[eqn: {1} over {2} mv _{2}^{2}]	[eqn: {1} over {2} mv _{2}^{2}]
B에 들어가기 전	[eqn: mgh]	[eqn: {1} over {2} mv _{3}^{2}]	[eqn: mgh+ {1} over {2} mv _{3}^{2}]
B를 빠져 나온 후	[eqn: mgh]	[eqn: {1} over {2} mv _{4}^{2}]	[eqn: mgh+ {1} over {2} mv _{4}^{2}]
도착	[eqn: mg(2h)]	0	[eqn: 2mgh]

운동하는 동안 마찰이나 외부에서 힘이 작용하지 않으면 물체의 역학적 에너지는 보존된다.

물체가 출발하여 A에 들어가기 전까지 역학적 에너지는 보존되므로 [eqn: mgh= {1} over {2} mv _{1}`^{2}] … ①이다.

물체가 A를 빠져 나온 후 B에 들어가기 전까지 역학적 에너지는 보존되므로 [eqn: {1} over {2} mv _{2}`^{2} =mgh+ {1} over {2} mv _{3}`^{2}]에서 ①을 대입하면 [eqn: v _{2}`^{2} =v _{1}`^{2} +v _{3}`^{2}]… ②이다.

물체가 B를 빠져 나온 후 정지할 때까지 역학적 에너지가 보존되므로 [eqn: {1} over {2} mv _{4}`^{2} +mgh=mgh(2h)]에서 [eqn: {1} over {2} mv _{4}`^{2} =mgh]이므로 ①을 대입하면 [eqn: v _{1} =v _{4}] … ③이다.

A, B에서 크기가 같은 힘을 같은 시간 동안 작용하였으므로 물체가 받은 충격량의 크기는 같음을 알 수 있다. 충격량은 운동량의 변화량과 같으므로 A, B에서 물체의 운동량의 변화량은 같다. 따라서 [eqn: m(v _{2} -v _{1} )=m(v _{4} -v _{3} )]에서 [eqn: v _{2} +v _{3} =v _{1} +v _{4}]이고 [eqn: v _{1} =v _{4}]이므로 [eqn: v _{2} +v _{3} =2v _{1}] … ④이다.

② 에서 [eqn: v _{2}`^{2} -v _{3}`^{2} =v _{1}`^{2}]이므로 [eqn: (v _{2} -v _{3} )(v _{2} +v _{3} )=v _{1}`^{2}]…⑤ 이다.

이를 ④에 대입하여 정리하면 [eqn: v _{1} =2(v _{2} -v _{3} )] … ⑥ 이다.

④ 와 ⑥ 을 정리하면 [eqn: v _{2} = {5} over {4} v _{1}], [eqn: v _{3} = {3} over {4} v _{1}]이다.

힘이 물체에 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같으므로

[eqn: W _{rmA} = {1} over {2} m(v _{2}`^{2} -v _{1}`^{2} )= {1} over {2} m( {9} over {16} v _{1}`^{2} )]이고,

[eqn: W _{rm B it} = {1} over {2} m(v _{4}`^{2} -v _{3}`^{2} )= {1} over {2} m(v _{1}`^{2} -v _{3}`^{2} )= {1} over {2} m( {7} over {16} v _{1}`^{2} )]이다. 따라서 [eqn: {W _{rmB}} over {W _{rmA}} = {7} over {9}]이다.

[정답] ⑤

(나)에서 그래프 기울기의 부호가 2초를 전후로 반대이므로 B의 가속도 방향은 2초를 전후로 해서 반대이다. 따라서 실은 2초일 때 끊어졌다. B는 0초부터 2초까지 속력이 증가하는 등가속도 운동을 하다가, 2초부터 속력이 감소하는 등가속도 운동을 한다는 것을 알 수 있다.

(×)ㄱ. 속력이 증가하는 등가속도 직선 운동을 하는 물체에 운동 방향과 반대 방향으로 알짜힘이 작용하면 물체의 운동 방향은 즉시 바뀌지 않는다. 2초일 때 실이 끊어지므로 2초 이후에 B는 운동 방향은 바뀌지 않고 속력이 감소하는 운동을 한다.

(○)ㄴ. B의 가속도의 크기는 1초일 때와 3초일 때가 5 m/s2으로 같다. A, C의 질량을 각각 [eqn: m _{rmA}], [eqn: m _{rmC}]라고 하면,

1초일 때 A, B, C에 작용하는 힘은 [eqn: (m _{rmA} -m _{rmC} ) TIMES 10][eqn: =(m _{rmA} +m+m _{rmC} ) TIMES 5]…①이고, 3초일 때 B, C에 작용하는 힘은 [eqn: 10m _{rmC} =5(m+m _{rmC} )]이므로 [eqn: m _{rmC} =m] … ②이다.

②에서 [eqn: m _{rmC} =m]이고 이를 ①에 대입하여 정리하면 [eqn: m _{rmA} =4``m]이다. 따라서 질량은 A가 C의 4배이다.

(○)ㄷ. 실이 끊어진 2초 이후 B와 C의 역학적 에너지의 합은 일정하다. 2초 이후 B의 속력은 감소하므로 B의 운동 에너지는 감소하고 C의 역학적 에너지는 증가한다. 따라서 C의 역학적 에너지는 3초일 때가 2초일 때보다 크다.

[정답] ③

(○)ㄱ. A가 P에서 Q까지 운동하는 동안 B는 연직 방향으로 내려간다. 따라서 중력이 B에 한 일은 B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량과 같다.

A가 P에서 Q까지 운동하는 동안 A, B는 실로 연결되어 함께 운동하므로 A와 B의 역학적 에너지의 합은 일정하다. 따라서 A가 P에서 Q까지 운동하는 동안, A와 B의 운동 에너지 증가량의 합=B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량(=중력이 B에 한 일)이다.

(○)ㄴ. Q에서 A의 속력을 [eqn: v], Q에서 R까지의 거리를 [eqn: L]이라고 하면, A가 Q에서 R까지 운동하는 동안 A의 운동 에너지 감소량은 B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량과 같으므로 [eqn: {1} over {2} mv ^{2} =2mgL] … ①이고, [eqn: F]가 A와 B에 한 일은 A, B의 운동 에너지 감소량과 B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량의 합이므로 [eqn: FL= {1} over {2} (m+2m)v ^{2} +2mgL] … ②이다. ①, ②를 정리하면

[eqn: FL=6mgL+2mgL=8mgL]이므로 [eqn: F=8mg]이다.

(×)ㄷ. A가 P에서 Q까지 운동하는 동안 가속도의 크기를 [eqn: a _{1}]이라 하면, 운동 방정식 [eqn: 2mg=(m+2m)a _{1}]에서 [eqn: a _{1} = {2} over {3} g]이다.

A가 Q에서 R까지 운동하는 동안 가속도의 크기를 [eqn: a _{2}]라고 하면,

[eqn: 2mg-F=(m+2m)a _{2}]에서 [eqn: F=8mg]이므로 [eqn: a _{2} =-2g]이다.

A가 P에서 Q까지 운동하는 데 걸린 시간을 [eqn: t _{1}], Q에서 R까지 운동하는 데 걸린 시간을 [eqn: t _{2}]라고 하면 [eqn: a _{1}] : [eqn: a _{2}] = 1 : 3이므로

[eqn: t _{1}] : [eqn: t _{2}] = 3 : 1이다.

A의 속도를 시간에 따라 나타내면 다음과 같다.

등가속도 운동 식 [eqn: v=v _{0} +at]에서 [eqn: v=a _{1} t _{1} = {2} over {3} g TIMES {3} over {4} t= {1} over {2} gt]이다. 그래프에서 아랫부분의 넓이는 P에서부터 R까지의 거리이므로 [eqn: {1} over {2} TIMES t TIMES {1} over {2} gt= {1} over {4} gt ^{2}]이다.

[정답] ⑤

A, B에 작용하는 경사면에 나란한 방향의 중력의 크기를 각각 [eqn: F _{rmA}], [eqn: F _{rmB}]라 하고, p가 A를 당기는 힘의 크기를 [eqn: T _{rmp}], q가 B를 당기는 힘의 크기를 [eqn: T _{rmq}]라 하면 (가)에서 A, B, C에 작용하는 알짜힘은 0이므로 [eqn: F _{rmA} =T _{rmp}] , [eqn: T _{rmq} =T _{rmp} +F _{rmB}]이다.

문제의 조건에서 [eqn: T _{rmq} =3T _{rmp}]이므로 [eqn: F _{rmB} =2F _{rmA}]이다.

A와 B는 동일한 경사면에서 운동하고 경사면 방향으로 작용하는 중력의 크기는 B가 A의 2배이므로 A, B의 질량을 각각 [eqn: m _{rmA}], [eqn: m _{rmB}]라고 하면 [eqn: m _{rmB} =2m _{rmA}]이다. (나)에서 p가 끊어진 후 정지 상태에서 이동 거리는 A가 B의 3배이므로 가속도의 크기는 A가 B의 3배이다. A가 [eqn: 3s]만큼 이동했을 때 A, B의 속력을 각각 [eqn: v _{rmA}] , [eqn: v _{rmB}] 라고 하면 [eqn: v _{rmA} =3v _{rmB}]이다.

A의 운동 에너지 증가량 [eqn: E _{rm A it} = {1} over {2} m _{rm A it} v_{rm A it}`^{2}]이고,

B의 운동 에너지 증가량 [eqn: E _{rm B it} = {1} over {2} m _{rm B it} v _{rmB}`^{2} = {2} over {9} E _{rmA}]이다.

B가 올라간 높이는 A가 내려간 높이의 [eqn: {1} over {3}]배이고 질량은 B가 A의 2배이므로 B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량의 [eqn: {2} over {3}]배이다. A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 A의 운동 에너지 증가량과 같으므로 B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 [eqn: {2} over {3} E _{rmA}]이다.

C의 역학적 에너지 감소량은 B의 역학적 에너지 증가량과 같으므로 [eqn: E _{rmC} = {2} over {9} E _{rmA} + {2} over {3} E _{rmA} = {8} over {9} E _{rmA}]이다. 따라서 [eqn: {E _{rmC}} over {E _{rmA}} = {8} over {9}]이다.

[정답] ⑤

A, B는 10 N의 힘을 작용했을 때 정지해 있다가(Ⅰ) 30 N의 힘에 의해 A, B는 힘의 방향인 오른쪽 방향으로 등가속도 운동(Ⅱ)을 하고, 실을 놓은 순간부터는 오른쪽 방향으로 속도가 0이 될 때까지 움직이다가 다시 왼쪽 방향으로 움직이게 된다.(Ⅲ)

(Ⅰ) 처음 10 N의 힘을 작용하였을 때 물체가 정지해 있는 경우

A를 당기는 힘이 10 N일 때 A와 B는 정지해 있으므로 [eqn: F]의 크기는 B에 작용하는 중력의 크기와 같다는 것을 알 수 있다. B에 작용하는 중력의 크기는 10 N이다. 중력 가속도는 10 m/s2이므로 [eqn: F=ma]에서 [eqn: 10 {rm``N}=m TIMES10{rmm/s^2}]이다. 따라서 B의 질량은 1 kg이다.

(Ⅱ) 30 N의 힘으로 물체를 p에서 q까지 당긴 경우

[eqn: F]가 30 N일 때 A가 p에서 q까지 운동하는 동안 한 일의 양은 30 N×0.4 m=12 J이다.

힘이 A, B에 한 일은 A, B의 역학적 에너지 변화량과 같으므로 A가 p에서 q까지 운동하는 동안 A의 운동 에너지 증가량을 [eqn: DELTA K _{rmA}], B의 운동 에너지 증가량을 [eqn: DELTA K _{rmB}], B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량을 [eqn: DELTA E _{rmB}]라고 하면, [eqn: 12= DELTA K _{rmA} + DELTA K _{rmB} + DELTA E _{rmB}]이고, B는 0.4 m 올라가므로 [eqn: DELTA E _{rmB}]=10 N×0.4 m=4 J이다. B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 B의 운동 에너지 증가량의 2배라고 하였으므로 B의 운동 에너지 증가량은 [eqn: DELTA K _{rmB}]=2 J이다. 따라서 [eqn: DELTA K _{rmA}][eqn: =12-2-4=6rm``J]이다.

p에서 A와 B는 정지해 있으므로 A와 B의 운동 에너지는 질량에 비례한다. q에서 운동 에너지는 A가 B의 3배이므로 질량은 A가 B의 3배이다. 따라서 A의 질량은 3 kg이다.

(Ⅲ) 실을 놓은 후

실을 놓은 후 물체는 속력이 0이 될 때까지 오른쪽으로 움직이다가 0이 된 후 다시 왼쪽으로 움직인다. 이때, 역학적 에너지 보존 법칙에 의해 물체가 q를 지날 때 A의 운동 에너지는 실을 놓는 순간과 같이 6 J이다.

A가 q에서 p까지 운동하는 동안 A와 B의 역학적 에너지는 보존되므로 감소한 B의 중력 퍼텐셜 에너지는 A와 B의 운동 에너지 증가량의 합과 같다. A가 q에서 p까지 운동하는 동안 B는 0.4 m 내려가므로 B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 10×0.4=4 J이다.

A와 B의 질량의 비가 3 : 1이므로 운동 에너지의 비도 3 : 1이다. 따라서 A의 운동 에너지 증가량은 3 J, B의 운동 에너지 증가량은 1 J이다. q에서 A의 운동 에너지는 6 J이었으므로 A가 다시 p를 지날 때 운동 에너지는6 J+3 J=9 J이다.

[정답] ②

A가 P에서 Q까지 이동하는 구간을 구간 Ⅰ, Q에서 R까지 이동하는 구간을 구간 Ⅱ라고 하자.

•구간 Ⅰ

실이 끊어지기 전에는 A와 B의 역학적 에너지의 합이 일정하게 보존된다. 따라서 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량[eqn: (P _{rmA} )=rmA]의 운동 에너지 증가량[eqn: (K _{rm A} )+rmB]의 운동 에너지 증가량[eqn: (K _{B} )] + B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량[eqn: (P _{B} )]이다.

즉, [eqn: P _{rmA} =K _{rmA} +K _{rmB} +P _{rmB}] … ① 이다.

A의 운동 에너지 증가량은 B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량의 [eqn: {4} over {5}]배이므로 [eqn: K _{rmA} = {4} over {5} P _{rmB}]… ② 이다. A와 B는 실로 연결되어 운동하므로 속력이 같다. 따라서 A와 B의 운동 에너지의 비는 질량의 비와 같다. [eqn: m _{rmA}:m_{rmB}=K_{rmA}:K_{rmB}]이므로 B의 운동 에너지 증가량 [eqn: K _{rm B it} = {m _{rm A it}} over {m _{rm B it}} TIMES {4} over {5} P _{rm B it}] … ③이다. ②, ③을 ①에 대입하면 [eqn: P _{rm A it} = {4} over {5} P _{rm B it} + {4m _{rm B it}} over {5m _{rm A it}} P _{rm B it} +P _{rm B it}]에서

[eqn: P _{rmA} = {9} over {5} P _{rmB} + {4m _{rmB}} over {5m _{rmA}} P _{rmB}] … ④ 이다.

•구간 Ⅱ

A의 운동 에너지는 R에서가 Q에서의 [eqn: {9} over {4}]배이므로 R에서 A의 운동 에너지는 [eqn: {4} over {5} P _{rmB} TIMES {9} over {4} = {9} over {5} P _{rmB}]이다. 즉, Q에서 R까지 운동하는 동안 A의 운동 에너지 증가량은 [eqn: {9} over {5} P _{rmB} - {4} over {5} P _{rmB} =P _{rmB}]이다. 실이 끊어진 후 A의 역학적 에너지는 일정하게 보존되므로 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 A의 운동 에너지 증가량과 같다. 따라서 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량도 [eqn: P _{rmB}]이다.

•구간 Ⅰ+구간 Ⅱ

A는 구간 Ⅰ에서 [eqn: 2L], 구간 Ⅱ에서 [eqn: L]만큼 이동하였으므로 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 구간 Ⅰ에서가 구간 Ⅱ에서의 2배이다. 따라서 [eqn: P _{rmA} =2P _{rmB}] … ⑤ 이다. ④, ⑤를 이용하면

[eqn: {9} over {5} P _{rmB} + {4m _{rmB}} over {5m _{rmA}} P _{rmB} =2P _{rmB}]에서 [eqn: {m _{rmB}} over {m _{rmA}} =4]이다.

[정답] ②

물체의 질량을 [eqn: m], A에 진입하기 전 속력을 [eqn: v _{1}], A를 통과한 후 속력을 [eqn: v _{2}], B에 진입하기 전 속력을 [eqn: v _{3}]이라고 할 때, 궤도를 운동하는 동안 각 위치에서의 에너지는 다음과 같다.

구분	중력 퍼텐셜 에너지[eqn: rm(J)]	운동 에너지[eqn: rm(J)]	역학적 에너지[eqn: rm(J)]
p	[eqn: mg(h _{1} +h _{2} )]	0	[eqn: mg(h _{1} +h _{2} )]
A에 진입하기 전	[eqn: mgh _{2}]	[eqn: {1} over {2} mv _{1}^{2}]	[eqn: mgh _{2} + {1} over {2} mv _{1}^{2}]
A를 통과한 후	[eqn: mgh _{2}]	[eqn: {1} over {2} mv _{2}^{2}]	[eqn: mgh _{2} + {1} over {2} mv _{2}^{2}]
B에 진입하기 전	0	[eqn: {1} over {2} mv _{3}^{2}]	[eqn: {1} over {2} mv _{3}^{2}]
q	0	0	0

물체가 p에서 A에 진입하기 전까지 물체의 역학적 에너지는 보존되므로[eqn: mg(h _{1} +h _{2} )=mgh _{2} + {1} over {2} mv _{1}^{2}]에서 [eqn: mgh _{1} = {1} over {2} mv _{1}^{2}]… ①이다.

A를 통과한 후 B에 진입하기 전까지 역학적 에너지는 보존되므로 [eqn: mgh _{2} + {1} over {2} mv _{2}^{2} = {1} over {2} mv _{3}^{2}]에서 [eqn: mgh _{2} = {1} over {2} mv _{3}^{2} - {1} over {2} mv _{2}^{2}] … ②이다.

물체에 작용한 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같으므로 A, B에서 물체에 작용한 힘의 크기를 [eqn: F]라고 할 때 구간 A. B에서 알짜힘이 한 일과 운동 에너지 변화량은 같다.

따라서 [eqn: -Fl= {1} over {2} mv _{2}^{2} - {1} over {2} mv _{1}^{2}] … ③, [eqn: -2Fl=- {1} over {2} mv _{3}^{2}] … ④이다.

③, ④를 연립하여 정리하면 [eqn: v _{3}^{2} =2v _{1}^{2} -2v _{2}^{2}] … ⑤이다.

물체가 받은 힘의 크기는 A에서와 B에서가 같고, 구간을 통과하는 데 걸린 시간은 B에서가 A에서의 2배이므로 충격량의 크기는 A에서가 B에서의 2배라는 것을 알 수 있다. 물체가 받은 충격량은 운동량의 변화량과 같으므로 A, B에서 충격량과 운동량의 변화량은 같다.

따라서 [eqn: -FT=mv _{2} -mv _{1}] … ⑥, [eqn: -2FT=-mv _{3}] … ⑦이다

⑥, ⑦을 연립하여 정리하면 [eqn: v _{3} =2v _{1} -2v _{2}] … ⑧이다.

⑧을 ⑤에 대입하여 정리하면 [eqn: v _{1}^{2} -4v _{1} v _{2} +3v _{2}^{2} =0]에서 [eqn: v _{1} =3v _{2}], [eqn: v _{3} =4v _{2}]이다. 이를 ①, ②에 대입하여 정리하면 [eqn: h _{1} = {9v _{2}^{2}} over {2g}], [eqn: h _{2} = {15v _{2}^{2}} over {2g}]이므로, [eqn: {h _{1}} over {h _{2}} = {3} over {5}]이다.

[정답] ④

❶ 역학적 에너지 보존을 이용하여 A, B의 운동을 비교한다.

역학적 에너지는 보존되므로 p에서 가만히 놓은 A는 빗면을 따라 운동하다가 p와 같은 높이인 s에서 정지한다. A가 q를 지날 때의 속력은 [eqn: v]이고, B가 q에서 출발할 때의 속력이 [eqn: v]이므로 B는 p에서 A를 놓았을 때와 같은 운동을 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 B는 A와 마찬가지로 빗면을 따라 운동하다가 p와 같은 높이인 s에서 정지한다.

❷ 왼쪽 빗면과 오른쪽 빗면에서의 가속도의 크기를 비교한다.

B의 역학적 에너지는 보존되고 q와 r의 높이는 같으므로 r에서 B의 속력은 [eqn: v]이다. B는 p에서 A를 놓았을 때와 같은 운동을 하므로 B를 p에 가만히 놓았다면 p에서 q까지 왼쪽 빗면에서 [eqn: L]만큼 이동하는 동안 속력 증가량은 [eqn: v]이고, r에서 s까지 오른쪽 빗면에서 [eqn: 2L]만큼 이동하는 동안 속력 감소량은 [eqn: v]이다. 오른쪽 빗면과 왼쪽 빗면에서 속력 변화량은 같고, 오른쪽 빗면까지 이동한 거리가 2배이므로 가속도의 크기는 왼쪽 빗면에서가 오른쪽 빗면의 2배이다.

❸ 오른쪽 빗면에서 A와 B 사이의 거리를 파악한다.

A가 p에서 q까지 이동하는 데 걸린 시간을 [eqn: t _{0}]이라고 하면 B가 q에서 r까지 이동하는 데 걸린 시간도 [eqn: t _{0}]이다. 마찬가지로 A가 q에서 r까지 이동하는 데 걸린 시간도 [eqn: t _{0}]이다. 가속도의 크기는 왼쪽 빗면에서가 오른쪽 빗면에서의 2배이므로 A가 r를 [eqn: v]의 속력으로 지나는 순간 B의 속력은 [eqn: {1} over {2} v]이다. A가 p에서 q까지 운동하는 동안 등가속도 운동을 하므로 평균 속력은 [eqn: {1} over {2} v]이고 걸린 시간을 [eqn: t _{0}]라고 하였으므로 [eqn: {1} over {2} vt _{0} =L]이다.

B가 r를 통과하고 [eqn: t_0]만큼의 시간이 지날 때까지 B의 평균 속력은 [eqn: {(v+ {1} over {2} v)} over {2} = {3} over {4} v]이므로 이동한 거리는 [eqn: {3} over {4} vt _{0} = {3} over {2} L]이다. 따라서 A가 r를 통과할 때 B는 r로부터 [eqn: {3} over {2} L]만큼 떨어진 지점을 통과하고 있다. 이를 그림으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

❹ 물체의 속력 – 시간  그래프를 그리고, A, B가 충돌할 때 A의 속력을 구한다.

오른쪽 빗면에서 A와 B의 가속도의 크기는 같으므로 A가 r를 통과한 이후 A, B의 속력을 시간에 따라 나타내면 다음과 같다. 가속도의 크기는 왼쪽 빗면에서가 오른쪽 빗면에서의 2배이므로 B가 r를 지난 순간부터 s까지 도달하는 데 걸린 시간은 [eqn: 2t _{0}]이다. A와 B가 만나는 순간 A와 B는 수평면으로부터 같은 높이이므로(역학적 에너지 보존) 속력이 같다. 따라서 B가 s에서 정지한 후 빗면을 내려와 A와 B가 처음으로 속력이 같아지는 순간 A와 B의 속력은 [eqn: {1} over {4} v]이다.

[정답] ⑤

(○)ㄱ. (나)에서 질량 [eqn: m]인 물체가 힘의 평형을 이루며 정지해 있으므로, 물체에 작용하는 중력([eqn: mg])과 용수철 A에 의한 탄성력([eqn: kd])은 크기가 같고 방향이 반대인 힘이다. 따라서 [eqn: mg=kd]이므로 용수철 상수([eqn: k])는 [eqn: {mg} over {d}]이다.

(○)ㄴ. 마찰이나 공기 저항을 받지 않으면 물체의 역학적 에너지가 보존되므로, (다)에서 A의 탄성 퍼텐셜 에너지는 (라)에서 질량 [eqn: m]인 물체의 중력 퍼텐셜 에너지와 B의 탄성 퍼텐셜 에너지의 합과 같다. (다)에서 A의 탄성 퍼텐셜 에너지는 [eqn: {1} over {2} k(d+2d) ^{2} = {1} over {2} LEFT ( {mg} over {d} RIGHT ) (3d) ^{2} = {9} over {2} mgd]…①이다.

(다)에서 물체의 위치를 중력 퍼텐셜 에너지가 0인 기준면으로 하면, (라)에서 물체의 중력 퍼텐셜 에너지는

[eqn: mg(2d+d+x+ {1} over {2} d)=mg LEFT ( {7} over {2} d+x RIGHT )]…②이다.

(라)에서 B의 탄성 퍼텐셜 에너지는

[eqn: {1} over {2} k LEFT ( {1} over {2} d RIGHT ) ^{2} = {1} over {2} LEFT ( {mg} over {d} RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} d RIGHT ) ^{2} = {1} over {8} mgd]…③이다.

식 ①=②+③이므로, [eqn: x= {7} over {8} d]이다.

(○)ㄷ. (다)에서 물체를 가만히 놓은 후 물체가 평형점(물체가 힘의 평형을 이루는 위치)을 지나는 순간 물체의 속력이 최대가 되므로, 물체의 운동 에너지도 최대가 된다. 운동 에너지의 최댓값을 [eqn: E _{k}]라고 할 때, 물체가 운동하는 동안 역학적 에너지가 보존되므로 (다)에서 A의 탄성 퍼텐셜 에너지는 평형점에서 물체의 운동 에너지(Ek)와 평형점에서 A의 탄성 퍼텐셜 에너지, 평형점에서 물체의 중력 퍼텐셜 에너지의 합이다.

따라서 [eqn: {9} over {2} mgd=E _{k} + {1} over {2} LEFT ( {mg} over {d} RIGHT ) d ^{2} +mg(2d)]에서 물체가 운동하는 동안 물체의 운동 에너지의 최댓값 [eqn: E _{k} =2mgd]이다.

[정답] ①

(×)ㄱ. 기체는 압력이 일정한 상태로 부피가 증가하므로 기체의 온도는 증가한다.

(○)ㄴ. 기체의 온도가 증가하였으므로 내부 에너지가 증가하고, 기체의 운동 에너지가 증가한다. 따라서 기체의 평균 속력은 커진다.

(×)ㄷ. 기체가 흡수한 열은 내부 에너지 변화량과 기체가 외부에 한 일의 합이다. 따라서 기체가 흡수한 열량은 기체가 외부에 한 일보다 크다.

[정답] ①

(가) → (나) 과정에서 압력은 일정한 상태로 부피가 증가하였으므로 등압 팽창 과정이고, (나) → (다) 과정은 열을 차단한 상태에서 부피가 감소하였으므로 단열 압축 과정이다.

(○)ㄱ. (가) → (나) 과정에서 기체는 열을 흡수하면서 부피가 증가하므로 A가 외부에 일을 하고([eqn: W>0]) A의 내부 에너지가 증가한다. (나) → (다)는 단열 압축 과정이므로 A의 온도가 증가한다. 따라서 A의 온도는 (가)에서가 (다)에서보다 낮다.

(×)ㄴ. (나) → (다) 과정은 단열 압축 과정이므로 부피는 감소하고, 온도는 증가한다. 따라서 A의 압력은 증가한다.

(×)ㄷ. (가), (나), (다)에서 기체의 압력과 부피의 관계를 나타내면 그림과 같다.

(나) → (다) 과정은 단열 압축 과정으로 [eqn: Q=0= DELTA U+W]에서 [eqn: -W= DELTA U]이다. 따라서 내부 에너지의 변화량은 기체가 받은 일과 같다. 압력과 부피 관계 그래프 아랫부분의 넓이는 기체가 한 일이므로 (가) → (나) 과정에서 A가 한 일은 (나) → (다) 과정에서 A의 내부 에너지 변화량보다 작다.

[정답] ①

A가 측정할 때 B와 양성자의 속력은 [eqn: 0.9c]로 같으므로 B는 양성자가 정지한 것으로 관측한다. B가 측정할 때, 정지해 있는 B에 대해 p와 q가 차례로 [eqn: 0.9c]의 속력으로 지나고 시간 간격이 [eqn: T]이므로 p와 q 사이를 운동하는 데 걸린 고유 시간은 [eqn: T]이다.

(○)ㄱ. A가 측정할 때 B가 p에서 q까지 운동하는 데 걸린 시간을 [eqn: T _{rmA}]라고 하면, A가 측정한 시간은 지연된 시간이므로 고유 시간보다 길다. 즉 [eqn: T _{rmA}>T] 이다. A가 측정할 때 B의 속력은 [eqn: 0.09c]이므로 A가 측정한 p와 q 사이의 거리[eqn: L=0.9cT _{rmA} >0.9cT]이다.

(×)ㄴ. A가 측정한 p에서 q까지 양성자가 이동하는 데 걸린 시간은 지연된 시간이다. 따라서 [eqn: T]보다 크다.

(×)ㄷ. B가 측정할 때 양성자는 정지해 있다. 양성자는 정지 질량([eqn: m _{0}])을 가지고 있으므로 질량이 0이 아니다. 따라서 양성자의 정지 에너지([eqn: E=m _{0} c ^{2}])는 0이 아니다.