Ⅰ. 역학과 에너지

07. 특수 상대성 이론

정답과 해설

[정답] ①

ㄱ. 특수 상대성 이론의 길이 수축에 따라 정지한 철수가 움직이는 우주선의 길이를 관측할 때 고유 길이 [eqn: L _{0}]보다 짧아 보인다.

해설

ㄴ. 특수 상대성 이론의 시간 팽창에 따라 정지한 철수가 움직이는 영희를 보면, 영희의 시간이 자신의 시간보다 느리게 가는 것으로 관측한다.

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ㄷ. 특수 상대성 이론의 광속 불변 원리에 따라 관성 좌표계에 있는 영희와 철수가 관측하는 빛의 속력은 모두 [eqn: c]이다.

[정답] ③

ㄷ. 철수가 보았을 때 운동하고 있는 뮤온의 시간은 팽창한다. 따라서 뮤온의 수명이 늘어난다.

해설

ㄱ. 특수 상대성 이론에서 빛의 속력은 관찰자의 운동 상태에 관계없이 같다.

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ㄴ. 철수가 보았을 때 운동하고 있는 우주선의 길이는 감소한다.

[정답] ④

ㄱ. 철수가 0.9c의 속력으로 운동하므로 철수가 관측할 때 B는 0.9c의 속력으로 다가온다.

해설

ㄷ. 철수가 측정한 시간은 [eqn: T]이고, 영희가 측정한 시간은 [eqn: T _{0}]이라고 하면, 철수의 경우 [eqn: 0.9c TIMES T=L]이고, 영희의 경우 [eqn: 0.9c TIMES T _{0} =L _{0}]이다. 그런데 [eqn: L<L _{0}]이므로 [eqn: T<T _{0}]이다. 즉 영희가 측정하는 시간은 [eqn: T]보다 크다.

ㄴ. 철수가 측정한 거리를 [eqn: L], 영희가 측정한 거리를 [eqn: L _{0}]이라고 하면, 정지해 있는 영희가 측정한 거리가 고유 길이이므로 [eqn: L<L _{0}]가 된다. 따라서 영희가 측정한 A와 B 사이의 거리는 [eqn: L]보다 크다.

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[정답] ②

ㄷ. 민수가 볼 때 영희가 자신에게 가까워지므로 영희의 속력이 민수보다 빠르다. 운동하는 상대편의 속력이 빠를수록 시간이 더 느리게 가는 것으로 관찰되므로, 철수가 측정할 때 영희의 시간이 민수의 시간보다 느리게 간다.

해설

ㄱ.  광속 불변의 원리에 따라 민수와 영희가 측정한 레이저 광선의 속력은 [eqn: c]로 같다.

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ㄴ. 운동하는 물체의 속력이 빠를수록 길이가 더 수축되어 보이므로,  철수가 측정할 때 영희의 우주선 길이 [eqn: L_1]은 민수의 우주선의 길이 [eqn: L_2]보다 짧다.

[정답] ①

영희가 측정할 때 철수의 시간이 A에서가 B에서보다 느리게 가는 것으로 관측하므로, 철수가 탄 우주선의 속력은 A에서가 B에서보다 빠르다.

해설

ㄴ. 정지한 관찰자가 빠르게 움직이는 물체를  측정할 때 그 길이가 수축되어 보이며, 길이 수축의 정도는 속력이 빠를수록 크다. 따라서 [eqn: L_1 <L_2]이다.

ㄱ. 영희가 측정할 때 철수가 탄 우주선의 속력은 A에서가 B에서보다 빠르므로, B에서의 우주선의 속력은 [eqn: 0.6c]보다 작다.

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ㄷ. 영희가 측정한 철수의 속력이 A에서가 B에서보다 빠르므로, 철수가 측정한 영희의 속력도 A에서 측정할 때가 B에서 측정할 때보다 빠르다. 따라서 철수가 측정할 때 영희의 시간은 A에서 측정할 때가 B에서 측정할 때보다 느리게 간다.

[정답] ⑤

ㄱ. (가)에서  철수가 측정한 시간 [eqn: T _{1}]은 고유 시간으로 A와 B 사이의 거리는 고유 거리로서 그 크기는 [eqn: c TIMES {1} over {2} T _{1}]=0.5[eqn: cT _{1}]이다.

해설

ㄴ. (나)에서 0.7c로 운동하는 영희가 측정한 A와 B사이의 거리는 고유 거리보다 수축하게 되므로 0.7[eqn: cT _{2}]는 0.5[eqn: cT _{1}]보다 짧다. 따라서 A와 B 사이의 거리는 (나)에서가 (가)에서보다 짧다.

ㄷ. (다)에서  민수, 민희, 지점 A, B 모두 동일한 계에 있고, 민수, 민희는 모두 자신의 위치에 고정된 시계로 시간을 측정하며, 거리를 계산하였으므로  0.3[eqn: cT _{3}]은 고유 길이이다.

[정답] ①

ㄱ. A가 측정한 p와 q 사이의 거리 [eqn: L]은 고유 길이이다. B가 측정할 때는 길이 수축이 일어나므로 B가 측정한 길이 [eqn: L_{rmB} = 0.9c T]는 [eqn: L]보다 작다. 즉, [eqn: L > L_{rmB} = 0.9cT]이다.

해설

ㄴ. B가 측정한 p에서 q까지 양성자가 이동하는 데 걸린 시간은 [eqn: T = L_{rmB} over 0.9c]이고, A가 측정한 시간은 [eqn: T_{rmA} = L over 0.9c]이므로 [eqn: T_{rmA} >T]이다.

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ㄷ. 정지 에너지는 질량-에너지 동등성 원리에 따라 정지해 있는 물체가 갖는 에너지를 의미하며, [eqn: E = m_0 c^2]으로 표현된다([eqn: m_0]는 정지 질량). B가 관찰했을 때 양성자는 정지해 있지만 양성자의 정지 질량은 0이 아니므로 양성자의 정지 에너지는 0이 아니다.

[정답] ①

ㄱ. 철수가 측정한 철수의 시간은 고유 시간([eqn: t _{0}])이고, 영희에 대해 움직이는 관찰자인 철수가 측정한 영희의 시간은 지연된 시간([eqn: t _{}])이므로 [eqn: t _{}]는 [eqn: t _{0}]보다 느리게 간다.

해설

ㄴ. 철수가 측정한 광원 P에서 A까지의 거리와 P에서 B까지의 거리가 같다면, 영희가 관찰할 때 빛의 속도는 일정하고, P에서 방출된 빛이 각각 A와 B로 이동하는 동안 우주선도 이동하므로 A와 P 사이의 빛이 이동하는 거리는 작아지고, B와 P 사이의 빛이 이동하는 거리는 커지므로 빛은 B보다 A에 먼저 도달하는 것으로 관찰한다. 그러나 영희가 관찰할 때, P에서 출발한 빛이 A와 B에 동시에 도달했으므로 철수가 측정한 A와 P 사이의 거리는 B와 P 사이의 거리보다 크다.

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ㄷ. 철수가 측정한 P에서 A까지의 거리는 P에서 B까지의 거리보다 크기 때문에 영희가 측정한 거리도 P에서 A까지의 거리가 P에서 B까지의 거리보다 크다.

[정답] ②

ㄴ. 철수가 측정할 때, 빛이 P로 이동하는 동안 P는 광원으로부터 멀어지는 방향으로 이동하고, 빛이 R로 이동하는 동안 R는 광원과 가까워지는 방향으로 이동한다. 따라서 P로 출발한 빛이 이동하는 거리는 R로 출발한 빛이 이동하는 거리보다 크므로 철수는 P보다 R에 빛이 먼저 도착하는 것으로 측정한다.

해설

ㄱ.우주선과 나란한 방향으로만 길이 수축이 일어나므로 O와 R 사이의 거리는 [eqn: L]이고, P와 R 사이의 거리는 길이 수축이 일어나서 [eqn: 2L]보다 짧아지므로 P와 R 사이의 거리는 O와 Q 사이의 거리의 2배가 아니다.

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ㄷ. 영희가 측정할 때 빛은 O에서 Q를 수직으로 왕복하여 빛의 이동 거리가 [eqn: 2L]이지만 철수가 측정할 때 Q가 철수의 반대 방향으로 이동하고 빛이 대각선으로 진행하며 왕복하는 것으로 측정하여 빛의 이동 거리가 [eqn: 2L]보다 크기 때문에 걸린 시간은 [eqn: {2L} over {c}]보다 크다.

[정답] ④

ㄱ. [eqn: t _{rm A}]와 [eqn: t _{rm B it}]는 같은 사건을 측정한 고유 시간이므로 [eqn: t _{rm A}]=[eqn: t _{rm B it}]이다.

해설

ㄴ. 영희가 탄 우주선 B가 민수가 탄 우주선 A에 대해 일정한 속력 [eqn: 0.5c]로 운동하므로 영희가 측정할 때 민수의 시간은 자신(영희)의 시간보다 느리게 간다.

ㄷ. 영희가 측정할 때 우주선 A의 속력과 민수가 측정할 때 우주선 B의 속력이 같고, [eqn: t _{rm A}]=[eqn: t _{rm B it}]이므로 민수가 측정할 때 [eqn: t _{rm A}] 동안 멀어진 A와 B 사이의 거리는 영희가 측정할 때 [eqn: t _{rm B it}] 동안 멀어진 A와 B 사이의 거리와 같다.

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[정답] ⑤

ㄱ. 광속 불변 원리에 의해 광원에서 나온 빛의 속력은 A가 측정할 때와 B가 측정할 때가 같다.

해설

ㄴ. [eqn: L]은 광원과 P에 대해 정지한 관찰자가 측정한 거리이므로 고유 거리이고, 관찰자 A가 측정한 광원과 P 사이의 거리는 수축된 거리이므로 [eqn: L]보다 짧다.

ㄷ. 우주선의 속력은 Ⅰ이 Ⅱ보다 크므로 C가 측정할 때, A의 시간은 B의 시간보다 더 느리게 간다.

[정답] ②

ㄴ. 속력이 상대적으로 느린 뮤온 A는 지표면에 도달하기 전에 붕괴하고, 지표면에 도달하는 순간 붕괴하는 뮤온은 상대적으로 속력이 빠른 B이다.

해설

ㄱ. 뮤온의 고유 수명이 [eqn: t _{0}]이므로 관찰자가 측정할 때, A가 생성된 순간부터 붕괴하는 순간까지 걸리는 시간은 [eqn: t _{0}]보다 크다.

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ㄷ. 관찰자가 측정할 때, [eqn: h]는 고유 거리이므로 뮤온의 좌표계에서 측정한 짧아진 거리 0.99c[eqn: t _{0}]보다 크다.

[정답] ③

ㄱ. A에서 관측할 때, P와 Q 사이의 거리는 짧아진 거리이므로 6광년보다 짧다.

해설

ㄷ. P에서 관측할 때, A가 P를 지나는 순간부터 Q에서 빛이 방출되는 순간(A가 Q를 스쳐 지나는 순간)까지 걸린 시간은 [eqn: {6광년}over{0.6c}]=10년이고, Q에서 방출된 빛이 P까지 도달하는 데 걸리는 시간은 [eqn: {6광년}over{c}]=6년이므로 P에서 관측할 때, A가 P를 지나는 순간부터 Q의 빛 신호가 P에 도달하기까지 걸린 시간은 16년이다.

ㄴ. A에서 관측할 때, P와 Q 사이의 거리는 6광년보다 짧고, A의 속력은 [eqn: 0.6c]이므로 P가 지나는 순간부터 Q가 지나는 순간까지 이동하는 데 걸린 시간은 10년보다 작다.

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[정답] ②

정지한 좌표계에서 측정한 p와 검출기 사이의 거리 4광년은 고유 거리이고, A, B가 p에서 검출기에 도달하는 데 걸린 시간(각각 4년, 5년)은 늘어난 시간이다.

해설

ㄷ. 정지한 좌표계에서 측정한 p와 검출기 사이의 거리는 [eqn: 4c=5v]이므로 [eqn: v=0.8c]이다.

ㄱ. B와 같은 속도로 움직이는 좌표계에서 측정한 p와 검출기 사이의 거리는 짧아진 거리이므로 4광년보다 짧다.

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ㄴ. B와 같은 속도로 움직이는 좌표계에서 측정한 p가 B를 지나는 순간부터 검출기가 B에 도달하는 데까지 걸리는 시간은 고유 시간이므로 5년보다 짧다.

[정답] ①

ㄱ. A가 측정한 길이는 길이 수축한 길이이므로 B가 측정한 고유길이 [eqn: L _{rmP} +L _{rmQ}]보다 작다.

해설

ㄴ. A가 측정할 때 P와 R에 빛이 동시에 도달했으므로 B가 측정한 [eqn: L_{rmP]가 [eqn: L_{rmR]보다 크다.

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ㄷ. B가 측정할 때에는 A가 [eqn: 0.8c]로 운동하는 것으로 관측하므로 A의 시간이 느리게 간다.

[정답] ④

ㄴ. B가 측정한 지구와 행성 사이의 거리인 7광년은 고유 길이이므로 A가 측정한 지구와 행성 사이의 거리는 7광년보다 작다.

해설

ㄷ. B가 측정할 때 A는 [eqn: 0.7c]의 속력으로 운동하므로 A의 시간은 B의 시간보다 느리게 간다.

ㄱ. A가 측정한 B의 시간은 A의 시간보다 느리게 간다. B가 측정할 때 자신이 빛 신호를 보내는 시간 간격 1년은 고유 시간이고, 이 시간을 A가 측정하면 시간 지연이 일어나므로 1년보다 길다. 따라서 A가 B의 신호를 수신하는 시간 간격은 1년보다 길다.

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[정답] ④

ㄴ. 속력은 B가 A보다 크므로 길이 수축 효과는 B에서가 A에서보다 크다. 광원과 검출기 사이의 고유 길이는 같고, 속력은 B가 A보다 크므로 관찰자가 측정할 때 광원과 검출기 사이의 거리는 A에서가 B에서보다 크다.

해설

ㄷ. A, B에서 빛이 검출기는 광원을 향하는 방향으로 운동한다. 속력은 B가 A보다 크므로 검출기가 광원을 향하는 속력도 B가 A보다 크다. 따라서 광원에서 방출된 빛이 검출기에 도달하는 데 걸린 시간은 A에서가 B에서보다 크다.

ㄱ. 빛의 속력은 관찰자 또는 광원의 운동 상태에 관계없이 일정하다. 따라서 A에서 방출된 속력은 [eqn: c]이다.

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[정답] ⑤

ㄱ. 광원과 거울 사이의 고유 길이는 [eqn: L_0]이고 수축된 길이는 [eqn: L_1]이다. 따라서 [eqn: L_0 > L_1]이다.

해설

ㄴ.  우주선에서 측정할 때 빛 신호가 광원에서 거울까지 가는데 걸린 시간이 [eqn: t_0]이고, 우주선에 측정할 때 광원과 거울 사이의 거리는 [eqn: L_0]이므로 [eqn: t_0 = L_0 over c]이다.

ㄷ. 우주 정거장에서 측정할 때 빛 신호가 광원에서 거울까지 가는 동안 거울은 광원의 위치로부터 멀어지는 방향으로 이동하므로 [eqn: t_1 > t_0]이고, 빛 신호가 거울에서 광원까지 가는 동안 광원은 빛 신호가 반사되는 거울을 향하는 방향으로 이동하므로 [eqn: t_0 > t_2]이다. 따라서 [eqn: t_1 > t_2]이다.

[정답] ③

ㄱ. P와 A, B는 같은 관성계이고, A와 B에서 P까지의 거리가 같으므로 A와 B가 동시에 폭발하면 폭발할 때 발생한 빛은 동시에 P에 도달한다.

해설

ㄴ. 빛의 속력은 어느 관성계에서 측정하여도 [eqn: c]로 일정하다. P의 관성계에서 동시에 폭발한 빛이 Q를 향해 이동하는 동안 Q는 A에서 멀어지고, B와 가까워지므로 B에서 폭발한 빛이 Q에 먼저 도달한다. 따라서 Q의 관성계에서는 B가 A보다 먼저 폭발한 것으로 관측한다.

ㄷ. A와 P 사이의 고유 길이와 B와 P 사이의 고유 길이는 같고, Q의 관성계에서 측정할 때 길이 수축은 똑같은 비율로 일어난다. 따라서 Q의 관성계에서, A와 P 사이의 거리는 B와 P 사이의 거리와 같다.

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[정답] ③

ㄱ. 빛의 속력은 어느 관성계에서 측정하더라도 [eqn: c]로 일정하다.

해설

ㄴ. 광원과 거울 사이의 거리는 A의 운동 방향과 수직이기 때문에 길이 수축이 일어나지 않는다. 따라서 A의 관성계에서, 광원과 거울 사이의 거리는 고유 거리와 같은 [eqn: L]이다.

ㄷ. 다른 관성계에서 관측한 시간은 고유 시간보다 느리게 간다. 따라서 B의 관성계에서, A의 시간은 고유 시간인 B의 시간보다 느리게 간다.

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[정답] ④

ㄱ. P의 관성계에서, A와 B에서 동시에 발생한 빛은 속력이 [eqn: c]로 같으므로 같은 거리에 있는 P에 동시에 도달한다.

해설

ㄷ. B에서 Q까지의 거리는 Q의 관성계에서 측정한 거리가 고유 길이이므로 P의 관성계에서 측정한 거리보다 크다. 따라서 빛이 도달할 때까지 걸리는 시간도 Q의 관성계에서가 더 크다.

ㄴ. P의 관성계에서 관측할 때, A와 B에서 발생한 비칭 Q로 이동하는 동안 Q는 A에서 발생한 빛에서 멀어지고, B에서 발생한 빛으로 접근한다. 따라서 B에서 발생한 빛이 A에서 발생한 빛보다 먼저 Q에 도달한다.

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[정답] ⑤

ㄴ. 핵반응시에 질량수의 합과 양성자수의 합이 보존된다.

해설

질량수 : [eqn: 2+3=4+]㉠의 질량수  ∴㉠의 질량수[eqn: =1]

양성자수 : [eqn: 1+1=2+]㉠의 양성자수  ∴㉠의 양성자수[eqn: =0]

질량수가 [eqn: 1]이고 양성자수가 [eqn: 0]인 것은 중성자 [eqn: {} _{0``} ^{1`} rm n]이다.

ㄷ. 질량․에너지 동등성에 의해 핵반응에서 결손된 질량만큼 에너지가 발생한다.

ㄱ. [eqn: {} _{````92``} ^{235} rm U]의 양성자수가 [eqn: 92]이고, [eqn: 235]는 질량수이다.

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[정답] ②

ㄴ. (가)는 [eqn: RM2 _{1} ^{2} H` -> ` _{2} ^{4} He]이므로 [eqn: RMX]는 [eqn: {} _{1} ^{2} RMH]이다. 이때 반응 전 [eqn: {} _{1} ^{2} RMH] 두 개의 질량 합은 [eqn: 2M _{2}]이고, 반응 후 헬륨 원자핵 한 개의 질량은 [eqn: M _{5}]이므로 결손된 질량은 [eqn: 2M _{2} -M _{5}]이다.

해설

ㄱ. 헬륨 원자핵([eqn: {} _{2} ^{4} RMHe])의 양성자수는 2이고, 중성자수는 4-2=2이다.

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ㄷ. (나)는 [eqn: {} _{1} ^{2} rm H+ _{1} ^{3} H` -> ` _{2} ^{4} He+ _{0} ^{1} n]이므로 [eqn: RMY]는 [eqn: {} _{0} ^{1} rmn], 즉 중성자이다.

[정답] ①

A는 핵융합, B는 핵분열이다.

해설

ㄴ. A 핵융합은 태양에서 일어나고, B 핵분열은 원자력 발전소에서 일어나는 반응이다.

ㄱ. A 핵융합, B 핵분열 모두 질량 결손이 일어나며, 결손된 질량이 에너지로 바뀐다.

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ㄷ. 핵반응식에서 질량수의 합은 보존된다.

(가)의 질량수를 [eqn: x]라고 하면 [eqn: 235+x=141+92+3x]이므로 [eqn: x=1]이다. 따라서 (가)의 질량수는 1이다.

[정답] ④

ㄱ. 질량수가 큰 원자핵이 두 개의 새로운 원자핵으로 쪼개지는 핵반응을 핵분열(A)이라 한다.

해설

ㄷ. 우라늄의 핵반응 과정에서 방출되는 것은 고속 중성자(C)이며, 고속 중성자의 속력을 느리게 해야 연쇄 반응이 일어난다.

ㄴ. B는 핵융합이며, 핵반응에서 핵의 질량의 합은 반응 후가 반응 전보다 작아지는 질량 결손이 발생한다.

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[정답] ③

ㄱ. (가)는 핵반응 후 질량수가 큰 원자핵이 되었으므로 핵융합 반응이다.

해설

ㄴ. 핵반응 전후에 전하량 보존 법칙이 성립하므로 (가)에서 핵반응 전후의 전하량의 합은 같다.

ㄷ. 핵반응 전후에 질량수 보존 법칙은 성립하지만 핵반응 과정에서 결손된 질량이 에너지로 전환되므로 핵반응 후 질량의 합은 작아진다.

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[정답] ⑤

ㄱ. X는 헬륨([eqn: rm _{2} ^{4}rm He]) 원자핵이므로 중성자수는 2이다.

해설

ㄴ. 핵반응 전후에 질량수의 합과 전하량(양성자수의 합)의 합은 보존되므로 (나)에서 핵반응 전후 질량수의 합은 같다.

ㄷ. (가)에서 핵반응(핵융합) 후 발생한 에너지는 (나)에서 핵반응(핵분열) 후 발생한 에너지보다 크므로 [eqn: 2M _{1} >M _{2} -M _{3}]이다.

[정답] ⑤

ㄱ. ㉠은 고속의 중성자를 감속시켜 연쇄 반응을 잘 일으키게 한다. 따라서 감속재이다.

해설

ㄴ. 핵분열로 방출되는 중성자가 너무 많아지면 핵반응이 잘 일어나므로 이를 제어하기 위해 카드뮴과 같은 제어봉을 이용해 핵반응에서 방출된 중성자를 흡수하는 역할을 한다.

ㄷ. 우라늄 핵분열 반응시 방출되는 에너지는 질량 결손에 의한 것이다.

[정답] ④

ㄴ. 핵융합 반응에서 반응 후 질량의 합이 반응 전 질량의 합보다 줄어든다. 이를 질량 결손이라 하며, 질량 결손이 [eqn: DELTAm]일 때 [eqn: E]=[eqn: DELTAmc]2만큼의 에너지가 발생한다.

해설

ㄷ. 핵분열 반응은 질량수가 큰 원자핵이 분열하여 질량수가 작은 원자핵들이 생성되는 핵반응이다. 핵분열 반응은 핵융합 반응과 같이 반응 후 질량의 합이 반응 전 질량의 합보다 줄어드는 질량 결손이 발생한다.

ㄱ. A는 수소이고, B는 헬륨이다. 반응 전후 질량의 합이 아닌, 원자핵 1개의 질량은 헬륨인 B가 수소인 A보다 크다.

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[정답] ①

ㄱ. 핵반응에서 반응 전후 질량은 보존되지 않지만 전하량과 질량수는 보존된다. ㉠은 전하량이 0이고 질량수가 1이므로 중성자이다.

해설

ㄴ. ㉡은 전하량이 2이고, 질량수가 3이므로 [eqn: {}_{2}^{3} rmHe]이다. [eqn: {}_{2}^{4} rm He]은 질량수가 4이므로 ㉡과 [eqn: {}_{2}^{4} rm He]은 질량수가 서로 같지 않다.

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ㄷ. 핵반응 전후 감소한 질량(질량 결손)만큼 에너지가 발생하므로 질량 결손은 (가)에서가 (나)에서보다 크다.

[정답] ①

ㄱ. (가)는 질량수가 작은 원자핵들이 질량수가 큰 원자핵으로 합쳐지는 핵반응으로 핵융합 반응이다.

해설

ㄴ. 질량 결손이 [eqn: DELTAm]일 때 발생하는 에너지 [eqn: E]=[eqn: DELTAmc]2이므로 핵반응에서 발생하는 에너지는 질량 결손에 비례한다. (가)에서 발생한 에너지는 17.6 MeV이고, (나)에서 발생한 에너지는 4.96 MeV이므로 질량 결손은 (나)에서가 (가)에서보다 작다.

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ㄷ. 핵반응 전과 후에 질량수의 합은 일정하게 보존되므로 ㉠의 질량수는 15+1-4=12이다. ㉠은 [eqn: {}_{6}^{12} rmC]이다.