Ⅰ. 역학과 에너지

05. 열역학 제1법칙

정답과 해설

[정답]  ③

ㄱ. 이상 기체 상태 방정식을 적용하면 부피, 몰수, 온도가 같으므로 압력도 같다.

해설

ㄴ. 분자 1개의 평균 운동 에너지는 절대 온도에 비례한다. 온도가 같으므로 분자 1개의 평균 운동 에너지도 같다.

ㄷ. 분자 1개의 평균 운동 에너지가 같으므로 분자의 평균 속력은 분자의 질량의 제곱근에 반비례한다. 따라서 기체 분자의 평균 속력은 A가 B의 [eqn: root2]배이다.

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[정답] ④

ㄱ. 단열 압축 과정에서는 외부에서 받은 일이 내부 에너지의 증가량과 크기가 같다.

해설

ㄷ. [eqn: PV]는 [eqn: T]에 비례한다. 기체의 온도는 올라가는데 압축되어 부피가 감소하였으므로 압력이 증가한다.

ㄴ. 내부 에너지가 증가하였으므로 온도는 높아진다.

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[정답] ①

기체의 압력이 일정하게 유지되면서 기체의 부피가 증가하는 등압 팽창 과정이다. 기체가 흡수한 열([eqn: Q])은 기체가 외부에 한 일([eqn: W])과 기체의 내부 에너지 증가량([eqn: DELTA U])의 합과 같다.

해설

ㄴ. 내부 에너지가 증가하였으므로 기체 분자들의 평균 속력은 빨라진다.

ㄱ. 내부 에너지가 증가하였으므로 온도가 높아진다.

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ㄷ. 기체가 흡수한 열량은 기체가 외부에 한 일보다 크다.

[정답] ④

∙ 철수 : 기체가 팽창하는 것은 부피가 증가하는 것으로 기체가 외부로 일을 한 것이다.

해설

∙ 민수 : 따뜻한 물에서 페트병 안으로 열에너지가 이동하여 페트병 안의 온도가 올라간다.

∙ 영희 : 따뜻한 물에 페트병이 들어가면 페트병 안의 공기는 온도가 올라가므로 내부에너지는 증가한다.

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[정답] ③

ㄱ. 단열 팽창하면 [eqn: Q= DELTA U+W]에서 [eqn: Q=0]이고 [eqn: W>0]이므로 [eqn: DELTA U<0]이다. 따라서 상자 내부의 온도는 낮아진다.

해설

ㄴ. 압력은 [eqn: P PROPTO {nT} over {V}]에서 [eqn: n]은 일정, [eqn: T]는 낮아지고, [eqn: V]는 증가하므로 [eqn: P]는 감소한다.

ㄷ. 수증기가 물로 응결될 때에는 열을 방출하고, 물이 수증기로 될 때에는 열을 흡수한다.

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[정답] ③

ㄱ. (가)에서 기체의 부피 변화가 없으므로, 기체가 내부에 한 일 [eqn: W=0]이다. 따라서 열역학 제1법칙 [eqn: Q=W+ DELTA U]에 의해 기체의 내부 에너지 증가량 [eqn: DELTA U=Q]이다.

해설

ㄴ. (나)에서는 기체의 부피가 증가하고, 압력은 일정하다. 일정한 양의 이상 기체의 경우 [eqn: {PV} over {T}]값이 일정하므로, 기체의 온도는 높아진다. 따라서 기체의 내부 에너지가 증가하므로, 기체 분자의 평균 운동 에너지가 증가하여, 기체 분자의 평균 속력은 증가한다.

ㄷ. (가)와 (나)에서 가열 후 내부 에너지는 같다. 한편 (가)에서 내부 에너지는 가열 전에 비해 [eqn: Q]만큼 증가하고, (나)에서 내부 에너지는 가열 전에 비해 [eqn: Q-W]만큼 증가한다. 따라서 내부 에너지 증가량은 (가)가 (나)보다 크므로 가열 전 내부 에너지는 (가)가 (나)보다 작다.

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[정답] ⑤

ㄱ. A의 경우 열역학 제 1법칙 [eqn: Q=W+ DELTA U]에 의해 A가 B에 한 일 [eqn: W _{rm A it} =Q- DELTA U _{rmA}]이다. B의 경우 외부와 열 출입이 없으므로 단열 압축한 것이다. 이때 B는 A로부터 [eqn: Q- DELTA U _{rm A it}]만큼의 일을 받아 내부 에너지가 증가하므로, [eqn: DELTA U _{rmB} =Q- DELTA U _{rm A it}]에서 [eqn: Q= DELTA U _{rmA} + DELTA U _{rmB}]이다.

해설

ㄴ. B의 기체가 받은 일은 [eqn: Q- DELTA U _{rm A it}]이므로 [eqn: Q]보다 작다.

ㄷ. B의 기체는 내부 에너지가 증가하므로 온도가 증가한다.

[정답] ②

ㄴ. (가)에서는 기체가 외부에 일을 하지 않으므로 내부 에너지 변화량 [eqn: DELTA U _{(가)} =Q]이고, (나)에서는 기체는 외부에 일을 하므로 내부 에너지 변화량 [eqn: DELTA U _{(나)} =Q-W]이다. 따라서 가열 후 기체의 내부 에너지는 (가)에서가 (나)에서보다 크다.

해설

ㄱ.  이상 기체의 상태 방정식 [eqn: PV=Nk _{rm B it} T]에서 부피 [eqn: V]가 일정할 때 압력 [eqn: P]는 온도 [eqn: T]에 비례한다. 따라서 압력이 일정하고 부피가 [eqn: 2V]가 되면 절대 온도는 [eqn: 2T]가 된다.

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ㄷ. (나)에서 기체가 외부에 한 일 [eqn: W=Q- DELTA U _{(나)}]이고, (가)에서 기체의 내부 에너지 증가량 [eqn: DELTA U _{(가)} =Q]이다. 따라서 (나)에서 기체가 외부에 한 일 [eqn: W=DELTA U _{(가)}- DELTA U _{(나)}]이다.

[정답] ⑤
ㄴ. 열이 차단된 상태에서 A의 부피는 증가하였으므로 이상 기체 A는 외부에 대하여 일을 하였다. 따라서

해설

[eqn: Q= DELTAU+W=0]에서 [eqn: DELTAU=-W<0]이므로, 내부 에너지는 감소하고 온도는 낮아진다.

ㄷ. 이상 기체 A의 온도가 낮아졌으므로 기체 분자의 평균 속력은 작아진다.

ㄱ. 밸브를 열어 (가)에서 (나)의 상태로 변하면서 B의 압력이 감소한다. (나)에서 피스톤이 천천히 움직여 정지하였으므로 B와 A의 압력은 같으며 A의 압력은 (가)와 비교할 때 감소하였다.

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[정답] ①
ㄱ. (가)에서 (나)로 변하는 동안 기체가 한 일은 추의 중력에 의한 퍼텐셜 에너지 증가량과 유체의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량의 합과 같다.

해설

ㄴ. [eqn: Q = DeltaU + P DeltaV]에서 기체의 내부 에너지 변화량은 기체가 받은 열에서 기체가 한 일을 빼 준 값과 같다. 기체가 한 일이 있으므로 기체의 내부 에너지 변화량은 기체가 받은 열보다 작다.

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ㄷ. (기체의 압력) = (유체가 아래 피스톤을 누르는 압력) + (추의 무게에 의한 압력) + (대기압)과 같다. (가)에서 (나)로 변하는 동안 유체의 높이가 높아졌으므로 유체가 아래 피스톤을 누르는 압력이 증가하였다. 따라서 기체의 압력은 (나)에서가 (가)에서보다 크다.

[정답] ②

ㄷ. B → C 과정에서 부피는 증가하고 압력은 변하지 않으므로 기체는 외부로부터 열을 흡수하였다.

해설

ㄱ. A → B 과정이 단열 과정이므로 기체의 온도는 B에서가 A에서보다 높다.

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ㄴ. B → C 과정에서 기체의 부피는 증가하였지만 기체의 압력은 일정하다. 모래의 양을 감소시키면 기체의 압력이 감소하므로 모래의 양을 감소시키지 않았다.

[정답] ④

ㄱ. (나)에서 기체 A의 압력은 대기압과 추에 의한 압력으로 (가)에서와 같다. 그러나 B는 (가)에서보다 온도가 상승하였으나 부피의 변화가 없으므로 (가)에서보다 압력이 증가하였다. 따라서 (나)에서 기체의 압력은 A가 B보다 작다.

해설

ㄷ. (가)에서 (나)로 되는 과정에서 A와 B의 온도 변화는 같으므로 내부 에너지 변화량([eqn: DELTAU])은 동일하다. A는 부피가 증가하면서 기체가 외부에 일([eqn: W])을 하였으므로 (가)에서 (나)로 되는 과정에서 B에 가해진 열량 [eqn: Q=2 DELTAU+W]이고, A가 흡수한 열량 [eqn: Q _{A} = DELTA U+W]이므로 [eqn: {1} over {2} Q]보다 크다.

ㄴ. (나)에서 A와 B의 온도가 같으므로 내부 에너지는 같다.

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[정답] ⑤

ㄱ, ㄴ. (나)에서 기체는 외부로부터 일을 받아 단열된 상태에서 부피가 줄었으므로 단열 압축 과정이다. 따라서 (나)에서 기체가 받은 [eqn: W _{0}]은 모두 내부 에너지 변화에 사용되어 내부 에너지가 증가하였고, 기체의 내부 에너지는 기체의 온도에 비례하므로 [eqn: T _{2} `>`T _{1}]이다.

해설

ㄷ. (가)와 (나)에서 기체의 온도 변화가 같으므로 기체의 내부 에너지 변화량([eqn: DELTA U])은 같다. (가)에서 기체가 외부에 한 일을 [eqn: W]라고 하면 [eqn: Q _{0} =W+ DELTA U]이고, (나)에서 [eqn: W _{0} = DELTA U]이므로 [eqn: W=Q _{0} -W _{0}]이다.

[정답] ②

ㄴ. (나)에서 A와 B가 들어 있는 실린더의 두 피스톤의 단면적이 동일하고 피스톤이 정지해 있으므로 피스톤의 양쪽에서 작용하는 힘의 크기가 같아야 한다. 따라서 A와 B의 압력은 같다.

해설

ㄱ. B가 들어 있는 실린더와 피스톤이 단열되어 있으므로 피스톤이 B에 해준 일은 B의 내부 에너지 증가량과 같다. 따라서 피스톤이 이동하는 동안 B의 온도는 올라간다.

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ㄷ. A가 한 일을 [eqn: W _{A}], A의 내부 에너지 변화량을 [eqn: TRIANGLE U _{A}] 라고 하면, [eqn: Q=W _{A} + TRIANGLE U _{A}] 이다. 따라서 A의 내부 에너지는 (나)에서가 (가)에서보다 [eqn: Q-W _{A}]만큼 크다.

[정답] ①

ㄱ. A는 (가) → (나)의 등압 팽창 과정에서 열량 Q를 받아 외부에 W의 일을 하고 내부 에너지가 증가하여 온도가 높아졌다. 다시 (나) → (다)에서 W의 일을 받았으므로 A의 온도는 (다)에서가 (나)에서보다 높다. 따라서 A의 온도는 (가)에서가 (다)에서보다 낮다.

해설

ㄴ. (나) → (다) 과정에서 A는 단열 과정이고 부피가 감소하므로 A의 압력은 증가한다.

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ㄷ. (다)의 온도는 (가)의 온도보다 높으므로 (다) → (나)의 과정에서 A의 내부 에너지 변화량은 (가) → (나) 과정에서 A가 한 일과 같지 않다.

[정답] ②

ㄴ. 온도는 일정하므로 같으므로 부피와 압력은 반비례 관계이다. 따라서 부피가 큰 A의 압력이 B보다 낮다.

해설

ㄱ. (나)에서는 단열 압축이 일어나고 있다. 열역학 제1법칙 [eqn: Q= DELTA U+W]에서 [eqn: Q=0]이고 부피가 감소하고 있으므로([eqn: W<0]), 내부 에너지는 증가한다. 따라서 B의 온도는 증가한다. A와 B를 막고 있는 금속판은 열을 전달하므로 A의 온도는 (가)에서보다 높아진다.

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ㄷ. (가)에서 (나) 과정에서 B가 받은 일은 A의 내부 에너지 증가량과 B의 내부 에너지 증가량의 합과 같다.

[정답] ④

[eqn: Q_A = Delta U_A + W_A] 에서 A가 받은 열량 [eqn: Q_A = 15Q]이다.

A가 외부에 한 일은 탄성력에 의한 퍼텐셜 에너지로 저장된다. 압력이 [eqn: P_0]에서 [eqn: 2P_0]가 되었으므로 탄성력도 2배가 되고, 변형된 길이도 2배가 되므로 탄성력에 의한 퍼텐셜 에너지는 [eqn: E_P = 1 over 2 kx^2]에서 4배가 된다. 탄성력에 의한 퍼텐셜 에너지가 [eqn: Q]에서 [eqn: 4Q]가 되므로 A가 외부 즉 용수철에 한 일은 [eqn: W_A = 4Q - Q = 3Q]이다.

[eqn: therefore Delta U_A = Q_A - W_A = 15Q - 3Q = 12Q]

즉 [eqn: Delta U_A = 12Q], [eqn: W_A = 3Q] 이다.

그래프에서 [eqn: Delta U_A]와 [eqn: W_A]를 구하면 다음과 같다.

(1) [eqn: Delta U_A : 3 over 2 Delta (P_A V_A ) = 3 over 2 ( 2P_0 V_A - P_0 V_0 ) = 12Q]

(2)[eqn: W_A : 3 over 2 P_0 ( V_A - V_0 ) = 3Q]

(1)과 (2)에서 [eqn: V_A = 3 over 2 V_0] 이다.

[정답] ⑤

ㄱ. A→B 과정은 등온 과정이므로 내부 에너지의 변화량([eqn: DELTA U])은 0이다. 따라서 열역학 제1법칙 [eqn: Q=DELTA U+W]에 의해 기체가 한 일([eqn: W])은 기체가 흡수한 열량([eqn: Q])과 같다.

해설

ㄴ. D에서의 온도를 [eqn: T _{0}]라고 하면, 이상기체 상태 방정식 [eqn: PV=nRT]에 의해 [eqn: T _{0} = {P _{0} V _{0}} over {R}]이다. 마찬가지로 A에서의 온도 [eqn: T _{A} = {2P _{0} V _{0}} over {R}]이므로, [eqn: T _{A} =2T _{0}]이다. B→C 과정은 등적 과정으로 [eqn: Q=DELTA U+W]에서 [eqn: W=0]이므로 기체가 방출한 열량 [eqn: Q= DELTA U= {3} over {2} R DELTA T= {3} over {2} (T _{A} -T _{0} )= {3} over {2} P _{0} V _{0}]이다.

ㄷ. A→B 과정에서 그래프가 부피 축과 이루는 면적(기체가 한 일=기체가 흡수한 열량)은 □[eqn: 2P _{0} V _{0}]이고, 1회의 순환 과정에서 기체가 한 일(폐곡선의 면적)은 □[eqn: 2P _{0} V _{0}]이다. 따라서 C→D 과정에서 기체가 받은 일(=그래프가 부피 축과 이루는 면적)=[eqn: 2P _{0} V _{0} -P _{0} V _{0} =P _{0} V _{0}]이다.

[정답] ③

ㄱ. A→B→C 과정에서 기체가 한 일은 선분 BC 아래의 면적인 [eqn: P _{2} (V _{2} -V _{1} )]이고, A→D→C 과정에서 기체가 한 일은 선분 AD아래의 면적인 [eqn: P _{1} (V _{2} -V _{1} )]이다. 따라서 기체가 한 일은 A→B→C 과정에서가 A→D→C 과정에서보다 크다.

해설

ㄴ. 기체의 내부 에너지 변화량([eqn: DELTA U])은 온도의 변화([eqn: DELTA T])에 비례한다. A→B→C 과정과 A→D→C 과정에서 기체의 상태는 모두 A에서 C로 된 것이므로 이상 기체 상태 방정식([eqn: PV=nRT])에 의해 온도 변화가 같다. 따라서 기체의 내부 에너지 변화량도 같다.

ㄷ. 이상 기체 상태 방정식 [eqn: PV=nRT]에 의해 일정량의 이상 기체의 온도([eqn: T])는 [eqn: PV]값에 비례한다. A보다 C에서 [eqn: PV]값이 크므로 기체의 온도는 C에서가 A에서보다 높다.

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[정답] ②

기체의 내부 에너지 변화량은 [eqn: DELTA U= {3} over {2} nR( DELTA T)]이다. (가)와 (나)에서 기체의 상태는 모두 A에서 B로 되었으므로 온도 변화는 같다. 따라서 [eqn: DELTA U _{(가)} = DELTA U _{(나)}]이다.

해설

압력-부피 그래프에서 그래프가 부피 축과 이루는 면적은 기체가 한 일이다. 따라서 기체가 외부에 한 일은 (가)에서가 (나)에서보다 크다. 열역학 제 1법칙 [eqn: Q= DELTA U+W]에서 내부 에너지의 변화량([eqn: DELTA U])은 같고, 기체가 외부에 한 일([eqn: W])은 (가)에서가 (나)에서보다 크므로 기체가 외부에서 받은 열량은 [eqn: Q _{(가)} >Q _{(나)}]이다.

[정답] ②

ㄴ. A → B → C 과정에서 기체는 계속해서 열을 공급받으면서 내부 에너지가 증가하므로 기체의 온도는 C에서가 A에서보다 높다.

해설

ㄱ. 압력-부피 그래프의 밑면적은 기체가 한 일이다. A → B 과정에서 밑면적은 B → C 과정에서 밑면적보다 작으므로 기체가 한 일도 작다.

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ㄷ. A → B 과정에서 기체는 [eqn: Q]를 흡수하여 외부에 일을 하고 내부 에너지도 증가하므로 기체의 내부 에너지 변화량은 [eqn: Q]에서 기체가 한 일을 뺀 값이다.

[정답] ⑤

ㄱ. A → B 과정은 부피가 일정한 등적 과정이므로 기체가 한 일은 0이다. 압력은 B에서가 A에서보다 크므로 기체의 온도는 B에서가 A에서보다 크다. 기체의 내부 에너지는 B에서가 A에서보다 크므로 A → B 과정에서 기체의 내부 에너지는 증가한다. 따라서 A → B 과정에서 기체는 열을 흡수한다.

해설

ㄴ. B → C 과정에서 기체의 부피는 증가하므로 기체는 외부에 일을 한다.

ㄷ. B → C 과정은 등온 과정이므로 기체의 온도는 B에서와 C에서가 같다. 이를 정리하면 기체의 온도는 C에서가 A에서보다 높고, 기체의 내부 에너지는 기체의 절대 온도에 비례하므로 기체의 내부 에너지는 C에서가 A에서보다 크다.

[정답] ③

ㄱ. [eqn: t_0]일 때 온도는 A가 B보다 크므로 내부 에너지는 A가 B보다 크다.

해설

ㄷ. A의 부피가 증가하면 B의 부피는 감소하므로 B는 외부로부터 일을 받는다([eqn: W<0]). B의 온도는 일정하므로 B의 내부 에너지 변화량은 0이다([eqn: DELTAU =0]). 열역학 1법칙에서 [eqn: Q= W＋DELTAU]이므로 [eqn: Q<0]이다. 따라서 B는 열을 방출한다.

ㄴ. A에 열을 공급하기 전, A와 B의 압력은 같고, 기체의 온도는 A와 B가 같으므로 부피는 A와 B가 같았다. A에 열을 공급하면 A의 부피는 증가하고 B는 부피가 감소하므로 [eqn: t_0]일 때 부피는 A가 B보다 크다.

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[정답] ③

ㄱ. I→II에서 기체의 부피는 증가하므로 기체는 외부에 일을 한다.

해설

ㄴ. 기체의 부피는 I에서와 III에서가 같고 압력은 III에서가 I에서보다 크므로 기체의 온도는 III에서가 I에서보다 높다.

ㄷ. II→III에서 기체의 부피는 감소하므로 B→A 과정에 해당한다.

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