Ⅰ. 역학과 에너지

04. 역학적 에너지 보존

정답과 해설

[정답] ②

A와 B가 [eqn: x=0]에서 정지해 있다가 [eqn: x=4L]까지 운동하는 데 걸린 시간이 같으므로 물체가 이동한 거리와 시간을 고려하여 A, B의 시간에 따른 속도 그래프를 그리면 아래와 같으므로 [eqn: {5} over {2} t _{1} =3t _{2}]에서 [eqn: t _{1} = {6} over {5} t _{2}]…①이다. A가 [eqn: 0 SIM t _{1}] 동안 이동한 거리 [eqn: L= {v _{A}} over {2} TIMES t _{1}], B가 [eqn: 0 SIM t _{2}] 동안 이동한 거리 [eqn: L= {v _{B}} over {2} TIMES t _{2}]이므로 [eqn: v _{A} t _{1} =v _{B} t _{2}]…②이다. [eqn: W _{A} =F _{A} L], [eqn: W _{B} =F _{B} L]이고 A와 B의 질량이 같으므로 [eqn: {W _{A}} over {W _{B}} = {F _{A}} over {F _{B}} = {a _{A}} over {a _{B}}](단, [eqn: a _{A}], [eqn: a _{B}]는 각각 A와 B의 가속도의 크기)이다. [eqn: a _{A} = {v _{A}} over {t _{1}}], [eqn: a _{B} = {v _{B}} over {t _{2}}]이므로

해설

[eqn: {W _{A}} over {W _{B}} = {a _{A}} over {a _{B}} = {v _{A} t _{2}} over {v _{B} t _{1}}]…③이 되고, 식 ①, ②, ③에 의해 [eqn: {W _{A}} over {W _{B}} = {25} over {36}]이다.

[정답] ②

정지 상태에서 등가속도 운동을 하는 물체의 경우 등가속도 운동 식에서 [eqn: v ^{2} =2as]이므로 [eqn: v ^{2} PROPTO s]이다. 물체의 운동 에너지는 [eqn: E _{rm k it} = {1} over {2} mv ^{2}]에서 [eqn: E _{rm k it} PROPTO v ^{2}]이므로 [eqn: E _{rm k it} PROPTO s]이다. 즉, 물체의 운동 에너지는 이동 거리에 비례한다. 자동차의 운동 에너지는 c가 b에 비해 [eqn: {5} over {4}]배 크므로 운동하는 동안 운동 에너지는 증가하였다. 즉, 물체는 속력이 증가하는 등가속도 운동을 한다는 것을 알 수 있다 자동차의 운동 에너지를 b에서 [eqn: 4E _{rmk}] c에서 [eqn: 5E _{rm k it}]라고 하고 자동차의 운동 에너지 - 이동 거리 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다.

해설

자동차의 운동 에너지는 a에서 [eqn: 2E _{rm k it} = {1} over {2} mv _{rm a it} ` ^{2}]이므로 [eqn: v _{rm a it} = sqrt {{E _{rm k it}} over {m}}]이고, d에서 [eqn: 8E _{rm k it} = {1} over {2} mv _{rm d it} ^{````2}]이므로 [eqn: v _{rmd} =4 sqrt {{E _{rmk}} over {m}}]이다. 따라서 자동차의 속력은 d에서가 a에서의 2배이다.

[정답] ②
(나)에서 충돌 전 A의 속도는 2 m/s이고, 충돌 후 A의 속도는 1 m/s이다. (가)에서 충돌 후 B의 속도를 [eqn: v_{rmB}]라고 하면 운동량 보존 법칙에 따라 [eqn: m_{rmA}]×2 m/s=[eqn: m _{rmA}]×1 m/s+[eqn: m _{rmB} v _{rmB}]이다. 따라서 충돌 후 B의 속도 [eqn: v _{rmB} = {m _{rmA}} over {m _{rmB}}]×1 m/s이다. 충돌 후 운동 에너지는 B가 A의 3배이므로 [eqn: {1} over {2} m _{rmB} v _{rmB}^{``2}]=3×[eqn: {1} over {2} m _{rmA}](1 m/s)2이다. [eqn: v _{rm B it}]=[eqn: {m _{rm A it}} over {m _{rm B it}}]×1 m/s를 대입하면 [eqn: {m _{rmA}} over {m _{rmB}}]=3이다. 따라서 [eqn: m _{rmA}]:[eqn: m _{rmB}]는 3 : 1이다.

해설

[정답] ②

․ a점에서 퍼텐셜 에너지를 0이라 하면, a점에서 운동 에너지가 0이므로 역학적 에너지도 0이다.

해설

․ c점에서 퍼텐셜 에너지는 [eqn: -40`` rm J]이므로, 역학적 에너지는 보존되어 운동 에너지는 [eqn: 40`` rm J]이다.

․ c점에서 속력은 b점에서의 2배이므로 c점에서 운동 에너지는 b점에서의 [eqn: 2 ^{2} =4]배이다. 따라서 b점에서 운동 에너지는 [eqn: 10 rm ``J]이고, 역학적 에너지는 보존되어 퍼텐셜 에너지는 [eqn: -10`` rm J]이다.

․ d점에서 퍼텐셜 에너지는 [eqn: -60`` rm J]이고, 역학적 에너지는 보존되어 운동 에너지는 [eqn: 60`` rm J]이다.

ㄷ. d점에서 물체의 운동 에너지가 [eqn: 60RMJ]이므로 속력은 [eqn: 2 sqrt {30} rm ``m/s]이다.

ㄱ. a점과 b점의 퍼텐셜 에너지 차이가 [eqn: 10`` rm J]이므로 a와 b 사이의 거리는 1m이다.

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ㄴ. c점에서 d점까지 운동 에너지가 [eqn: 20 rm ``J]만큼 증가하였으므로 중력이 물체에 한 일은 [eqn: 20`` rm J]이다.

[정답] ③

ㄱ. 놀이 기구가 지면에서 Q까지 올라가는 동안 외부에서 한 일은 놀이 기구의 중력에 의한 역학적 에너지 변화량과 같다. P에서 Q까지 놀이 기구가 이동하는 동안 놀이 기구의 중력에 의한 역학적 에너지는 중력에 의한 퍼텐셜 에너지만큼만 증가하였으므로 [eqn: F]가 한 일은 Q에서 놀이 기구의 중력에 의한 퍼텐셜 에너지와 같다.

해설

ㄴ. [eqn: F]가 한 일이 중력에 의한 퍼텐셜 에너지와 같으므로 [eqn: W _{F} =mgh]이다. 여기에서 [eqn: W _{F} =F CDOT h]이므로 [eqn: F=3mg] 이다.

ㄷ. P까지 올라간 시간이 [eqn: t _{1}], P에서 Q까지 올라간 시간이 [eqn: t _{2}]일 때, [eqn: {1} over {2} 2gt _{1} ^{2} =h], [eqn: {1} over {2} gt _{2} ^{2} =2h] 이므로 [eqn: t _{1} :t _{2} =1:2] 이다. [eqn: t _{1} +t _{2}]=3(초)이므로 [eqn: t _{1}]=1초, [eqn: t _{2}]=2초 이고, [eqn: h]=10(m)이다.

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[정답] ④

ㄱ. A의 속력이 [eqn: v_OA]가 되었을 때 B를 놓았다면, B를 놓고 시간 t가 지났을 때 A의 속력은 [eqn: v _{A} =v _{0A} +gt], B의 속력은 [eqn: v _{B} =gt]가 된다. 따라서 A와 B의 속력 차는 [eqn: v _{A} -v _{B} =v_0A]로 일정하다.

해설

ㄷ. A의 이동 거리 [eqn: S_A =v_0A t + 1 over2 gt^2]이고, B의 이동 거리 [eqn: S_B = 1 over2 gt^2]이다.

ㄴ. A와 B의 질량을 m이라 하면 A의 운동 에너지는 [eqn: E _{kA} = 1over2 m times(v _{0A} +gt)^2]이고, B의 운동 에너지는

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[eqn: E _{kB} = 1over2 m times(gt)^2][eqn: v _{B} =gt]이다. 따라서

[eqn: E _{kA} -E _{kB} = {1} over {2} m TIMES (v _{0A} ^{2} +2gv _{0A} t)]이므로 운동 에너지 차는 시간이 지날수록 증가한다.

[정답] ④

중력만 작용할 때 물체의 가속도의 크기 [eqn: a=g]이다. [eqn: t=0 SIM T]까지 놀이 기구에 작용하는 알짜힘은 [eqn: 2mg]이고 가속도는 [eqn: 2a]이다. 놀이 기구에 중력만 작용할 때, 놀이 기구의 가속도는 [eqn: -g]이므로 놀이 기구의 속력은 [eqn: 3T]일 때 0이 된다. [eqn: 4T]일 때 놀이 기구는 지면으로부터 [eqn: {5} over {2} vT]의 높이에 있고, 속력은 아래 방향으로 [eqn: v]이다. [eqn: 4T]부터 놀이 기구는 등가속도 직선 운동을 하여 [eqn: {5} over {2} vT]를 이동 후 속력이 0이 되어야 하므로 지면에 도달하는 시간은 [eqn: 9T]이고 이때의 가속도 [eqn: a prime = {1} over {5} g]이다. [eqn: t=4T SIM 9T]까지 놀이 기구에 운동 방정식을 적용하면 [eqn: F-mg=ma prime]로부터 [eqn: F= {6} over {5} mg]이다.

해설

[정답] ①

ㄱ. [eqn: x=3] m일 때 A와 B의 가속도는 [eqn: a= rm {15``N-20``N} over {3``kg+2``kg} =]-1[eqn: rm m/s ^{2}]이므로, B에 작용하는 알짜힘은 2 kg×(-1 [eqn: rm m/s ^{2}])=-2 N이다. B에 중력이 아래로 –20 N작용하므로, 실이 B를 위로 당기는 힘이 18 N작용한다.

해설

ㄴ. 알짜힘이 한 일은 운동 에너지의 변화량과 같으므로 ([eqn: F-][eqn: m_B g])×[eqn: x]=[eqn: { 1} over {2 }(m_A +m_B )v^2]에서 [eqn: Fx] =[eqn: { 1} over {2} m_A v^2]+([eqn: { 1} over {2 }m_B v^2]+[eqn: m_B gx])가 성립한다. 따라서 [eqn: F]가 한 일 [eqn: Fx]는 A의 운동 에너지 증가량과 B의 역학적 에너지 증가량의 합과 같다.

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ㄷ. 0에서 [eqn: x=2] m까지 알짜힘 30 N-20 N=10 N이 운동 방향으로 작용하여 속력이 증가하고 [eqn: x=2] m에서 [eqn: x=4] m까지 알짜힘 15 N-20 N=-5 N이 운동 방향과 반대 방향으로 작용하여 속력이 감소한다. 따라서  A가 [eqn: x=2] m에서 최대 속력을 가지며 2m 이동하는 동안 힘이 한 일의 양이 A와 B의 운동 에너지 증가량과 같으므로 (15 N-20 N)×2 m=[eqn: { 1} over {2 }(3 +2 )v^2]에서 최대 속력 [eqn: v]=[eqn: 2sqrt { 2}] m/s이다.

[정답] ③

ㄱ. A와 B의 역학적 에너지는 보존되므로, A의 역학적 에너지 증가량은 B의 역학적 에너지 감소량과 같다. A의 중력 퍼텐셜 에너지 변화량은 없으므로 A의 역학적 에너지 증가량은 A의 운동 에너지 증가량과 같다. 따라서 A의 운동 에너지 증가량은 B의 역학적 에너지 감소량과 같다.

해설

ㄴ. B의 중력에 의한 퍼텐셜 에너지 감소량 [eqn: mgh]는 B의 운동 에너지 증가량 [eqn: { 1} over {2 }mv^2]의 4배이므로, [eqn: mgh] =4×[eqn: { 1} over {2 }mv^2]에서 [eqn: h= {}2v^2 over {g}]이다.

ㄷ. A의 운동 에너지 증가량은 B의 역학적 에너지 감소량과 같으므로, [eqn: { 1} over {2 }Mv^2]=-([eqn: { 1} over {2 }mv^2]-[eqn: mgh])가 성립한다. 이 식에 [eqn: mgh]=4×[eqn: { 1} over {2 }mv^2]을 대입하면 [eqn: M=3m]이다.

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[정답] ④

두 물체 A, B의 질량은 동일하며, 두 물체가 운동하는 동안 두 물체 A와 B의 속력은 동일하게 증가한다. 한편 A의 총 이동 거리는 B의 높이 변화와 동일하지만, A는 빗면을 타고 운동하고 있으므로 높이 변화는 B의 높이 변화보다 작다.

해설

ㄱ. B에 작용하는 중력이 질량이 같은 두 물체 A와 B를 동시에 움직이게 하므로 A와 B에 작용하는 알짜힘의 크기는 [eqn: {mg} over {2}]로 동일하며 이동한 거리도 동일하므로 각각의 알짜힘이 각각의 물체 A, B에 해준 일의 양은 동일하다.

ㄴ. 일-운동 에너지 정리에 의하여 A, B에 작용한 알짜힘이 한 일은 운동 에너지의 변화로 나타난다. 알짜힘이 한 일의 양이 동일하므로 물체 A, B의 운동 에너지 증가량은 동일하지만, 물체 A의 높이 변화는 물체 B의 높이 변화보다 작으므로  중력 퍼텐셜 에너지의 변화는 물체 A가 물체 B보다 작다. 물체 A, B의  중력 퍼텐셜 에너지의 변화의 합이 운동 에너지의 변화의 합으로 나타나므로 물체 A의 역학적 에너지는 증가하고 물체 B의 역학적 에너지는 감소하였다.

ㄷ. A와 B의 운동 에너지 증가량의 합은 A와 B의 감소한 중력 퍼텐셜 에너지의 합과 같다.

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[정답] ②

ㄴ. B와 C의 역학적 에너지가 보존되므로 B의 운동 에너지 감소량만큼 C의 역학적 에너지는 증가한다.

해설

ㄱ. 실이 끊어진 후 A는 자유 낙하 운동을 하므로 가속도의 크기는 중력 가속도([eqn: g])이고, B와 C는 실에 연결되어 있으므로 하나의 물체로 생각하고 가속도의 크기가 [eqn: a]일 때, [eqn: (2m+m)a=mg]이므로 [eqn: a= {1} over {3} g]이다. 따라서 가속도의 크기는 A가 B의 3배이다.

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ㄷ. B와 C의 역학적 에너지가 보존되므로 B의 운동 에너지 감소량은 C의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량과 C의 운동 에너지 감소량의 합과 같다.

[정답] ③

ㄱ. A가 P에서 Q까지 운동하는 동안 물체에는 중력만 작용하므로 역학적 에너지가 보존된다. 따라서 A와 B의 운동 에너지 증가량의 합은 B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량(중력이 B에 한 일)과 같다.

해설

ㄴ. Q에서 R까지의 거리를 [eqn: s]라고 하면 A와 B의 속력 변화량은 같고, A의 운동 에너지 감소량이 [eqn: 2mgs](B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량)이므로 B의 운동 에너지 감소량은 [eqn: 4mgs]가 되어 A와 B의 운동 에너지 감소량의 합은 [eqn: 6mgs]이다. 일･운동 에너지 정리에 의해 A와 B의 운동 에너지 감소량의 합은 A와 B에 작용한 알짜힘이 한 일과 같으므로 [eqn: (F-2mg)s=6mgs]에서 [eqn: F=8mg]이다.

ㄷ. A가 P에서 Q까지 이동하는 동안 A와 B에 작용하는 알짜힘의 크기는 [eqn: 2mg], 가속도의 크기는 [eqn: {2} over {3} g]이고, A가 Q에서 R까지 이동하는 동안 알짜힘의 크기는 [eqn: 6mg]이므로 가속도의 크기는  [eqn: 2g]이다. A가 P에서 R까지 운동하는 데 걸리는 시간이  [eqn: t]이고 가속도의 크기는 P에서 Q까지가 Q에서 R까지의 [eqn: {1} over {3}]배이므로 A가 P에서 Q까지 운동하는 데 걸린 시간은 [eqn: {3} over {4} t], Q에서 R까지 운동하는데 걸린 시간은 [eqn: {1} over {4} t]이다. A가 Q에 도달하는 순간의 속력은 [eqn: v= {1} over {2} gt]이므로 P에서 Q까지의 거리([eqn: s _{0}])와 Q에서 R까지의 거리([eqn: s])의 합

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[eqn: s _{0} +s= {{1} over {2} gt} over {2} TIMES {3} over {4} t+ {{1} over {2} gt} over {2} TIMES {1} over {4} t= {1} over {4} gt ^{2}]이다.

[정답] ⑤

F=10 N일 때, A와 B가 정지해 있으므로 B에 작용하는 중력은 10 N이고 B의 질량은 1 kg이다. A가 p에서 q까지 이동하는 동안 B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 B의 운동 에너지 증가량의 2배이므로 A가 q에 도달하는 순간 A와 B의 속력을 [eqn: v]라고 하면 2×[eqn: {1} over {2}]×1×[eqn: v ^{2}]=1×10×0.4에서 [eqn: v]=2 m/s이다.

해설

A가 p에서 q까지 이동하는 동안 A와 B에 작용한 알짜힘은 20 N이고, 일·운동 에너지 정리에 의해 알짜힘이 한 일은 A와 B의 운동 에너지 변화량과 같으므로 A의 질량을 [eqn: m _{A}]라고 할 때, 20×0.4=[eqn: {1} over {2}]×(1+[eqn: m _{A}])×[eqn: 2 ^{2}]에서 [eqn: m _{A}]=3 kg이다. q에서 손을 놓은 후 A와 B에 작용하는 알짜힘의 크기는 B에 작용하는 중력의 크기 10 N이므로 q에서 A가 정지할 때까지 이동한 거리가 s일 때, 10×s=[eqn: {1} over {2}]×4×[eqn: 2 ^{2}]에서 [eqn: s]=0.8 m이다. A는 q에서 오른쪽으로 0.8 m만큼 이동하고, A가 정지한 후부터 다시 p로 이동하는 동안 B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 A와 B의 운동 에너지의 합과 같다. A가 p에 도달하는 순간 A의 운동 에너지를 [eqn: E _{k}]라고 하면 B의 운동 에너지는 [eqn: {1} over {3}E _{ k}]이므로 역학적 에너지 보존 법칙에 의해 1×10×1.2=[eqn: E_{ k}]+[eqn: {1} over {3}E _{ k}]=[eqn: {4} over {3}E _{ k}]에서 [eqn: E_{ k}]=9 J이다.

[별해]

Ⅰ. p에서 q까지 이동하는 과정

F가 한 일(W)은 B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량([eqn: TRIANGLE E _{ pB}])과 A의 운동 에너지 증가량([eqn: TRIANGLE E _{ kA}])과 B의 운동 에너지 증가량([eqn: TRIANGLE E _{ kB}])의 합과 같으므로

W=[eqn: TRIANGLE E _{ pB}]+[eqn: TRIANGLE E _{ kA}]+[eqn: TRIANGLE E _{ kB}](식 ①)이다. B의 질량이 1kg이므로 [eqn: TRIANGLE E _{ pB}]=4 J이고, B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 B의 운동 에너지 증가량의 2배이므로 [eqn: TRIANGLE E _{ kB}]=2 J이며, W=30×0.4=12 J이다. 따라서 식 ①에서 [eqn: TRIANGLE E _{ kA}]=6 J이고, A와 B의 속력은 같으므로 A와 B의 운동 에너지의 비는 질량의 비와 같아서 A의 질량은 3 kg이다.

Ⅱ. q를 지나 다시 p로 되돌아오는 과정

A가 다시 p로 돌아왔을 때, A의 운동 에너지는 [eqn: E _{k}]라고 하면 B의 운동 에너지는 [eqn: {1} over {3}E _{ k}]이고, p에서 q까지 F가 해 준 일이 A와 B의 역학적 에너지로 보존되므로 12 J=[eqn: E _{k}]+[eqn: {1} over {3}E _{ k}]=[eqn: {4} over {3}E _{ k}]에서 [eqn: E _{k}]= 9 J이다.

[정답] ②

A가 P에서 Q까지 이동하는 동안 B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 [eqn: E_pB = 2m_B gL](단, [eqn: g]는 중력 가속도)이고, 구간 Ⅰ에서 A의 운동 에너지 [eqn: E_kA = 4over5 E_pB]이다. 구간 Ⅱ에서 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량([eqn: DELTAE_pA][eqn: =][eqn: m_A gL])은 A의 운동 에너지 증가량([eqn: DELTA E_kA])과 같으므로 [eqn: DELTAE_pA][eqn: =][eqn: DELTAE_kA][eqn: = 9over4 E_kA][eqn: -E_kA][eqn: = 5over4 E_kA][eqn: E_pB]에서  [eqn: m_A gh][eqn: = 2m_B gL] … ①

해설

A와 B의 속력이 같으므로 A와 B의 운동 에너지의 비는 A와 B의 질량의 비와 같기

때문에 A가 Q에 도달하는 순간 B의 운동 에너지는 [eqn: E_kB = m_B over m_A E_kA]이다. 구간 Ⅰ에서 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 구간 Ⅱ에서 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량의 2배([eqn: 2DELTAE_pB][eqn: =2m_A gL])이고, A의 운동 에너지 증가량과 B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량과 B의 운동 에너지 증가량의 합과 같으므로 역학적 에너지 보존 법칙을 적용하면, [eqn: 2m_A gh=][eqn: 4over5 E_pB][eqn: +][eqn: m_B over m_A E_kA]=[eqn: 18over5 m_B gL]+[eqn: 8m_B over 5m_A m_B gL]… ②

식 ①과 ②에서 [eqn: m_A over m_B =4]이다.

[정답] ⑤
ㄱ. 용수철 상수를 [eqn: k]라고 하면, (나)에서 물체의 중력과 용수철의 탄성력이 평형을 이루므로 [eqn: kd]=[eqn: mg]이다. 따라서 [eqn: k]=[eqn: {mg} over {d}]이다.

해설

ㄴ. (다)에서 A의 탄성 퍼텐셜 에너지가 (라)에서 물체의 중력 퍼텐셜 에너지와 B의 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환되므로 [eqn: k]=[eqn: {mg} over {d}]일 때 [eqn: {1} over {2} LEFT ( { mg} over { d} RIGHT )](3[eqn: d])2=[eqn: {1} over {2} LEFT ( {mg} over {d} RIGHT )]([eqn: {1} over {2} d])2+[eqn: mg](3[eqn: d]+[eqn: x][eqn: {1} over {2}][eqn: d])이다. 이를 정리하면 [eqn: x= {7} over {8} d]이다.

ㄷ. 운동 에너지가 최댓값이 되는 순간은 물체가 평형 높이를 지나는 순간이다. 이때 운동 에너지를 [eqn: E _{rmk}]라고 하면, (다)에서 평형 높이까지 탄성 퍼텐셜 에너지가 감소한 만큼 중력 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지가 증가하므로 [eqn: {1} over {2} Left( {mg} over {d} right)](3[eqn: d])2-[eqn: {1} over {2} LEFT ( {mg} over {d} RIGHT ) d]2=[eqn: mg]2[eqn: d]+[eqn: E _{rmk}]이다. 따라서 물체의 운동 에너지의 최댓값 [eqn: E _{rmk}]= 2[eqn: mgd]이다.

[정답] ①
ㄱ. (나)에서 A의 속력이 0이므로 운동 에너지도 0이다. 따라서 (가)에서 (나)까지 운동하는 동안 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 모두 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환된다. [eqn: mg(L-L _{0} )]=[eqn: {1} over {2} k(L-L _{0} )]2이므로 [eqn: L-L _{0}]=[eqn: {2mg} over {k}]이다.

해설

ㄴ. 용수철의 길이가 [eqn: L]일 때, 용수철의 탄성력의 크기는 [eqn: k(L-L _{0} )]=2[eqn: mg]이고, A의 중력의 크기는 [eqn: mg]이다. 따라서 A에 작용하는 알짜힘의 크기는 [eqn: k(L-L _{0} )]-[eqn: mg]=2[eqn: mg]-[eqn: mg]=[eqn: mg]이다.

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ㄷ. (가)에서 운동을 시작하여 중력과 탄성력이 같아지는 순간까지는 B의 속력이 빨라지고, 이후 (나)의 순간까지는 B의 속력이 느려진다. 따라서 B의 속력이 가장 빠른 순간은 중력과 탄성력이 같은 순간이다. 용수철의 늘어난 길이를 [eqn: x]라고 하면 [eqn: mg]=[eqn: kx]에서 [eqn: x]=[eqn: {mg} over {k}]이다. A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 두 물체의 운동 에너지와 탄성 퍼텐셜 에너지의 증가량과 같으므로 [eqn: mgx]=[eqn: {1} over {2}]2[eqn: mv]2+[eqn: {1} over {2} kx]2이고, [eqn: x]=[eqn: {mg} over {k}]를 대입하면 [eqn: v]=[eqn: sqrt{ {m} over {2k} }g]가 된다.

[정답] ②
(가)에서 (나)가 되는 과정에서 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지와 A의 중력 퍼텐셜 에너지는 감소하고, A와 B의 운동 에너지와 B의 중력 퍼텐셜 에너지는 증가한다.

해설

(가)에서 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지는 [eqn: {1} over {2}]×200 N/m× (0.1 m)2=1 J이고, (나)에서는 [eqn: {1} over {2}]×200 N/m×(0.05 m)2=0.25 J이므로 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지 감소량은 1 J-0.25 J=0.75 J이다. A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 2 kg×10 m/s2×0.05 m= 1 J이고, B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 3 kg×10 m/s2× 0.05 m=1.5 J이다.

역학적 에너지 보존 법칙에 따라 감소한 역학적 에너지의 합은 증가한 역학적 에너지의 합과 같다. 따라서 A와 B의 운동 에너지 증가량을 [eqn: E _{rmk}]라고 하면 0.75 J+1 J=1.5 J+[eqn: E _{rmk}]에서 [eqn: E _{rmk}]=0.25 J이다.

A와 B의 속력이 같을 때, A와 B의 운동 에너지는 질량에 비례하므로 (나)의 순간 A의 운동 에너지는 [eqn: {2} over {5}]×0.25 J=0.1 J이다. 따라서 A의 운동 에너지는 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지(0.25 J)의 [eqn: {2} over {5}]배이다.

[정답] ①

역학적 에너지 보존 법칙에 의해 A, B, C에서 역학적 에너지는 모두 같으므로 [eqn: {1} over {2} m(2v) ^{2} +mgh= {1} over {2} mv ^{2} +mg(2h)]이다. 이 식에 의해 [eqn: v^2 = 2 over3 gh]이다. C에서 역학적 에너지는 [eqn: mgH]이므로 [eqn: mgH= {1} over {2} mv ^{2} +2mgh]이고, [eqn: v^2 = 2 over3 gh]을 이 식에 대입하면 [eqn: mgH= {1} over {2} m LEFT ( {2} over {3} gh RIGHT ) +2mgh]이다.

해설

따라서 [eqn: H = 7 over3 h]이다.

[정답] ③

ㄱ. a에서 물체의 역학적 에너지는 운동 에너지와 같은 [eqn: {1} over {2} ×1×10^2 =]50(J)이다. C에서 중력에 의한 퍼텐셜 에너지는 운동 에너지의 3배이므로, 운동 에너지는 역학적 에너지의 [eqn: {1} over {4 }]배이다. 즉, C에서의 운동 에너지=[eqn: {1} over {2} TIMES 1 TIMES v _{rmC} ^{2}] = 50 ×[eqn: {1} over {4 }]에서 C에서의 속력 [eqn: v _{rm C it}] = 5 m/s이다.

해설

ㄴ. 등가속도 직선 운동의 식 [eqn: v=v_0 +at]식을 적용하면 C에서의 속도가 -5 m/s이므로, -5 = 10 + [eqn: a] × 3에서 [eqn: a]=-5 [eqn: rm m/s^2]이다. 따라서 가속도의 크기는 5 [eqn: rm m/s^2]이다.

ㄷ. 등가속도 직선 운동의 식 [eqn: 2as =v^2 -v_0^2]을 적용하면, [eqn: s= {(-5)^2 -10^2 } over {2×(-5) }]=7.5 m이다.

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[정답] ④

ㄴ. 빗면을 내려오는 동안 영희의 속력이 점점 증가하므로 운동 에너지는 증가한다.

해설

ㄷ. 역학적 에너지 보존 법칙에 따라 높이 [eqn: h]인 곳에서의 중력 퍼텐셜 에너지와 수평면에서의 운동 에너지가 같으므로 [eqn: mgh= {1} over {2}mv ^{ 2}]에서 [eqn: v= sqrt { 2gh}]이다.

ㄱ. 중력 퍼텐셜 에너지 [eqn: E_P =mgh]로 높이 [eqn: h]에 비례하고, 빗면을 내려오는 동안 높이 [eqn: h]가 감소하므로 영희의 중력 퍼텐셜 에너지는 감소한다.

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[정답] ③
ㄱ. A, B의 질량을 [eqn: m]이라고 하면 A, B가 높이 [eqn: h]인 지점을 지나는 순간부터 수평면에 도달할 때까지 중력이 한 일은 [eqn: mgh]로 서로 같다.

해설

ㄴ. A, B가 높이 [eqn: h]인 지점을 지나는 순간부터 수평면에 도달할 때까지 운동 에너지 변화량은 중력이 한 일과 같다. 따라서 운동 에너지 변화량은 A와 B가 서로 같다.

ㄷ. 높이 [eqn: h]인 지점을 동시에 통과하고, 같은 거리만큼 이동하여 동시에 수평면에 도달하였으므로 경사면을 운동한 시간은 A와 B가 서로 같다. A는 처음 가속도가 작고 나중 가속도가 크며, B는 처음 가속도가 크고 나중 가속도가 작다. 따라서 같은 시간에 같은 거리를 이동하기 위해서는 높이 [eqn: h]인 지점을 통과하는 속력이 A가 B보다 커야 하므로 역학적 에너지는 A가 B보다 크다.

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[정답] ②

[eqn: h]인 곳에서의 퍼텐셜 에너지는 a에서 운동 에너지와 같고, d에서의 운동 에너지가 퍼텐셜 에너지 [eqn: mgh]로 전환되므로 a와 d에서 물체의 속력([eqn: v _{0}])은 같아야 하며, [eqn: mgh= {1} over {2} mv _{0} ^{2}]에서 [eqn: v _{0} = sqrt {2gh}] 이다. A 구간과 B 구간에서 물체가 받은 충격량의 크기(운동량 변화량의 크기)가 같으므로 속도 변화량의 크기도 같고 [eqn: v _{0} -v _{2} =v _{1} -v _{0}]에서 [eqn: v _{1} +v _{2} =2 sqrt {2gh}]이다.

해설

일-운동 에너지 정리로부터 [eqn: W _{A} = {1} over {2} mv _{1} ^{2} - {1} over {2} mv _{0} ^{2}](식①), [eqn: W _{B} = {1} over {2} mv _{0} ^{2} - {1} over {2} mv _{2} ^{2}](식②)이고, 물체에 해 준 일의 합은 역학적 에너지 증가량과 같으므로 [eqn: W _{A} +W _{B} =mgh](식③)이다. 식①, ②, ③을 연립하면 [eqn: v _{1} ^{2} -v _{2} ^{2} =2gh]이고, [eqn: v _{1} +v _{2} =2 sqrt {2gh}](식④)이므로 [eqn: v _{1} -v _{2} = {sqrt {2gh}} over {2}](식⑤)이다. 식 ④, ⑤를 연립하면 [eqn: v _{1} = {5 sqrt {2gh}} over {4}], [eqn: v _{2} = {3 sqrt {2gh}} over {4}]이고, [eqn: v _{1}]과 [eqn: v _{2}]를 식 ①, ②에 대입하면 [eqn: W _{A} = {9} over {16} mgh], [eqn: W _{B} = {7} over {16} mgh]이다.

따라서 [eqn: {W _{B}} over {W _{A}} = {7} over {9}]이다.

[정답] ⑤

q가 B를 당기는 힘의 크기는 p가 A를 당기는 힘의 3배이므로 A의 질량을 [eqn: m]이라고 하면 B의 질량은 2[eqn: m]이다. A와 B가 정지 상태에서 출발하여 같은 시간 동안 이동한 거리는 A가 B+C의 3배이므로 가속도의 크기는 A가 B+C의 3배이다. 따라서 B와 C가 [eqn: s]만큼 이동한 순간의 속력이 [eqn: v]라고 하면 A가 3[eqn: s]만큼 이동한 순간의 속력은 3[eqn: v]이다. 같은 경사면에서 같은 시간 동안 이동한 거리는 A가 B의 3배이므로 높이의 변화도 A가 B의 3배이다. C의 역학적 에너지 감소량([eqn: E _{C}])는 B의 역학적 에너지 증가량([eqn: E _{B}])과 같다. B의 운동 에너지 증가량은 [eqn: {2} over {9} E _{A}], A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 A의 운동 에너지 증가량과 같고, B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 A의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량의 [eqn: {2} over {3}]배이므로 [eqn: {2} over {3} E _{A}]가 되어  [eqn: E _{B} = {8} over {9} E _{A} =E _{C}] 이다. 따라서 [eqn: {E _{C}} over {E _{A}} = {8} over {9}]이다.

해설

[정답] ④

높이 [eqn: h]인 곳에서 바닥까지의 구간을 1구간이라고 하면, 1구간에서의 역학적 에너지 보존을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. [eqn: mgh= {1} over {2} mv ^{2}] --(1)식. 따라서 [eqn: v= sqrt {2gh}] --(2)식이다.

해설

또한 p에서 q까지 구간을 2구간이라고 하고, q에서의 속력을 [eqn: V]라고 하면 2구간에서의 충격량을 운동량 변화량으로 표현하면 [eqn: Ft=mV-mv] --(3)식이 된다. 마지막으로 q에서 높이 [eqn: 2h]인 곳까지의 구간을 3구간이라고 하면, 3구간에서의 역학적 에너지 보존은

[eqn: {1} over {2} mV ^{2} =2mgh+2 TIMES {1} over {2} mv ^{2}] --(4)식이 된다.

(4)에 (1)을 대입하면

[eqn: {1} over {2} mV ^{2} =2 TIMES {1} over {2} mv ^{2} +2 TIMES {1} over {2} mv ^{2}]이므로 정리하면

[eqn: V=2v]이다. 또한 (3)식에서 [eqn: 2mg`t`=`2mv-mv]이므로 [eqn: t= {mv} over {2mg}]이고, (2)식을 대입하여 다음과 같이 정리할 있다. [eqn: t= {mv} over {2mg} = {m sqrt {2hg}} over {2mg} =` sqrt {{h} over {2g}}]

[정답] ②

A에 진입하기 전 물체의 속력을 [eqn: v_1], A를 통과한 후 물체의 속력을 [eqn: v_2], B에 진입하기 전 물체의 속력을 [eqn: v_3]라고 하자. 물체가 p에서 A에 들어가기까지 물체의 역학적 에너지는 일정하므로 [eqn: mgh _{1} = 1over 2 m v_1^2]---①이고 A를 통과한 후 B에 진입하기 전까지 역학적 에너지는 일정하므로 [eqn: mgh_2 = 1over 2 mv_3^2 - 1over 2 mv_2^2]---②이다. A, B에서 물체에 작용한 힘의 크기를 [eqn: F]라고 하면, 물체에 작용한 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같으므로 A에서 [eqn: -Fl = 1over2 mv_2^2 - 1over 2 mv_1 ^2]---③이고 B에서 [eqn: -F(2l) = 0 - 1over 2 mv_3^2]---④이다. 물체가 받은 충격량은 운동량의 변화량과 같으므로 A에서 [eqn: -FT = m(v_2 - v_1 )]---⑤이고, B에서 [eqn: -F(2T) = -mv_3]---⑥이다. ③, ④에서 [eqn: v_3^2 = 2v_1^2 - 2v_2^2]---⑦이고, ⑤, ⑥에서 [eqn: v_3 = 2v_1 - 2v_2]---⑧이다. ⑧을 ⑦에 대입하여 정리하면 [eqn: v_1^2 - 4v_1 v_2 + 3v_2^2 =0]에서 [eqn: v_1 = 3v_2], [eqn: v_3 = 4v_2]이다. 이를 ①，②에 대입하여 정리하면 [eqn: h_1 = 9v_2^2 over 2g], [eqn: h_2 = 15v_2^2 over 2g]이므로 [eqn: h_1 over h_2 = 3 over 5]이다

해설

[정답] ②

ㄷ. I에서 B의 역학적 에너지는

해설

[eqn: 1over 2 m_{rm B} v_{rm B}^2 = 5over2 m_{rm B} v_0^2 = 5m_{rm B} gh_0]이므로 III에서 B의 속력을 [eqn: v_{rm B} ']이라고 하면, B의 역학적 에너지는 보존되므로

[eqn: 5m_{rm B} gh_0 = 1over 2 m_{rm B} v_{rm B}'^2 + 4mgh_0]에서 [eqn: v_{rm B}' = 2gh_0 =v_0]이다.

ㄱ. A, B의 질량을 각각 [eqn: m_{rm A}], [eqn: m_{rm B}]라 하고, I에서 A, B의 속력을 각각 [eqn: v _{rm `A it}], [eqn: v_{rm B}]라고 하면, A와 B의 역학적 에너지는 각각 보존된다.

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[eqn: 1over 2 m_{rm A}v_{rm A} ^2 = m_{rm A} g (2h_0 ) + 1over 2 m_{rm A} v_0^2]에서 [eqn: v_{rm A} = root 3 v_0]이고,

[eqn: 1over 2 m_{rm B}v_{rm B} ^2 = m_{rm A} g h_0 + 1over 2 m_{rm A} ( 2v_0 ) ^2]에서 [eqn: v_{rm B} = root 5 v_0]이다.

I에서 A와 B는 등속도 운동을 하므로 I을 통과하는 데 걸리는 시간은 A가 B의 [eqn: root {{5} over {3}}]배이다.

ㄴ. I에서 A의 역학적 에너지는 [eqn: 1over 2 m_{rm A} v_{rm A}^2 = 3over 2 m_{rm A}v_0^2 = 3m_{rm A}gh_0]이다. A의 역학적 에너지는 보존되므로 II에서 A의 운동 에너지와 중력 퍼텐셜 에너지가 같은 지점의 높이를 [eqn: H]라고 하면, [eqn: 3m_{rm A} gh_0 = m_{rm A}gH + m_{rm A}gH = 2m_{rm A} gH]에서 [eqn: H = 3over2 h_0]이다.

[정답] ③

물체의 질량을 [eqn: m]이라고 하면, p에서 물체의 역학적 에너지는 [eqn: E_{rm p} = mg(2h) + 1over 2 mv^2]－－－①이다. A에서 물체의 역학적 에너지 증가량은 [eqn: 2E]이므로 q에서 물체의 역학적 에너지는 [eqn: E_{rm q} =][eqn: E_{rm p} + 2E = mg(5h) + 1over 2 mv_{rm q}^2]－－－②이다. 물체의 운동 에너지는 q에서가 p에서의 2배이므로 [eqn: v_{rm q} = root2 v]이므로 ②는 [eqn: E_{rm q} =][eqn: E_{rm p} + 2E = 5mgh + mv^2]－－－③이다. r에서 물체의 역학적 에너지는 [eqn: E_{rm r} = mgh + 1 over 2 mV^2]－－－④이다. B에서 역학적 에너지 감소량은 [eqn: 3E]이므로 [eqn: E_{rm r} = 3E + mgh]－－－⑤이다. ④와 ⑤를 정리하면 [eqn: 3E = 1over 2 mV^2]---⑥이다.
q와 r에서 물체의 역학적 에너지는 같으므로 [eqn: 5mgh + mv^2 = mgh+3E]에서 [eqn: 3E = 4mgh + mv^2]---⑦이다.
①과 ③에서 [eqn: 2mgh + 1over 2 mv^2]=[eqn: 5mgh + mv^2 - 2E]이므로 [eqn: 2E = 3mgh+ 1over 2 mv^2]---⑧이다. ⑦과 ⑧에서 [eqn: E = mv^2]이고 ⑥에서 [eqn: E = 1over 6 mV^2]이므로 [eqn: mv^2 = 1over 6 mV^2]이다. 따라서 [eqn: V = root6 v]이다.

해설